Matemáticas geometría superficie topología

Cómo convertir una superficie de Cross Cap

en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección)

pasando por la superficie romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidad de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de septiembre - 25 de octubre de 2003 **

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Aquí tenemos una "superficie de Cross Cap" (así es como la habríais descubierto en las imágenes de realidad virtual). Presenta dos puntos cónicos que son vértices de una línea de autointersección. Se puede construir pinchando un globo con pinzas para rulos. Pero también podéis construir representaciones poliédricas. La que aparece abajo nos interesa especialmente.

En la tabla 4 se encuentra lo más difícil de aprender. Me parece imposible que alguien entienda bien estos objetos simplemente mirando las figuras. Construid modelos. En pocas palabras, se tira del punto cónico C2 hacia "el interior de la superficie" (lo cual, por cierto, no tiene ningún sentido ya que, sin duda, ya habréis notado al instante, la superficie de Cross Cap es unilatera: no tiene una cara externa e interna). Insistiendo, la superficie se "cruza a sí misma", y el conjunto de autointersección se completa, suavizando un poco las cosas, con una curva con forma de 8. Se ha creado, por cierto, un punto triple T.

La superficie resulta más comprensible en su forma poliédrica y, abajo, hemos ampliado ciertos elementos para mostrar lo que nos induce a transformar este objeto en la superficie romana de Steiner (véase la simulación de realidad virtual), cuya forma poliédrica más sencilla consiste en ensamblar cuatro cubos (aquí se ven solo tres).

Tabla 5: versión poliédrica a la izquierda, redondeada a la derecha. La flecha pasa por el punto que vamos a "estrangular". Más abajo, el comienzo de la operación de estrangulación.

Tabla 6: el estrangulamiento se efectúa y crea un punto singular B. En realidad, ya que lo estrangulamos por ambas partes (para ahorrar tiempo), se forman dos puntos singulares S1 y S1, luego dos puntos cónicos. En este punto, sin cartón, tijeras y cinta adhesiva, estáis en apuros.

Tabla 7: aquí simplemente hemos hecho migrar los diferentes puntos cónicos. Si el punto C2 es "evidente", probablemente tendréis más dificultad en identificar los puntos C3 y C4 como cónicos. Sin embargo, están allí, en las extremidades de una línea de autointersección. Sobre el punto C3 hay simplemente lo que he llamado un "posicono", es decir, un punto en el que se concentra curvatura positiva (un punto en el que se concentra curvatura negativa lo llamo "negacono"). Deformando un poco este objeto, se llega a la forma poliédrica de la superficie romana de Steiner (inventada por Steiner en Roma; véase su ilustración en realidad virtual).

Así que el juego está hecho. Existen varios tipos de superficies, según las reglas que uno impone. Las superficies que no se autointersecan se llaman "inmersiones" (de la esfera, o del toro en R3). Cuando en cambio se autointersecan pero el plano tangente varía de forma continua sin degenerar, se llaman inmersiones. Por ejemplo: la botella de Klein, en su representación clásica. En R3 no existe una representación de la botella de Klein en forma de inmersión: se autointerseca necesariamente. Las inmersiones poseen conjuntos de autointersección sin puntos cónicos. Estos conjuntos son curvas continuas, pero pueden cruzarse en puntos dobles o triples. Observación: la esfera se puede realizar en forma de inmersión (que no es una inmersión), haciéndola autointersecarse. En efecto, es el modo a través del cual se logra darla la vuelta (cf. el método de A. Phillips, 1967, que tiene como paso central el doble revestimiento de una superficie de Boy; y también véase B. Morin y J.P. Petit, 1979, en el que se toma como modelo central el modelo "de cuatro orejas" de Morin, de cuya representación poliédrica aquí abajo podéis ver una que inventé hace una década).

Plano
de montaje de este objeto con papel y tijeras

Si se extienden las reglas del juego aceptando que estos objetos admitan también puntos cónicos, se obtienen sumersiones (la Cross Cap, la superficie romana de Steiner). No sé si "sumersión" es el término correcto, pero dado que no he encontrado a ningún matemático que me pueda aclarar las ideas al respecto, me divertí inventándome uno, provisionalmente al menos hasta que un geómetra experimentado aparezca. Así, la superficie Cross Cap y la superficie romana de Steiner serían sumersiones del "plano proyectivo".

Para decirlo todo, después de veinticinco años de actividad y mis decepciones en materia de Magneto-Hidrodinámica, había comenzado estos trabajos porque me parecían los más alejados de cualquier aplicación militar. Pero, como me hizo notar mi viejo amigo Mihn, el término "sumersión" podría prestarse a confusión y hacer pensar a la Armada que a través de estas investigaciones estaría intentando ocultar avances en materia de propulsión submarina.

La regla de "creación-ruptura" de pares de puntos cónicos permite pasar de una sumersión de un objeto a otra, y es lo que acabamos de hacer, mostrando que la Cross Cap y la superficie romana de Steiner son dos sumersiones del mismo objeto, conocido como plano proyectivo. No intentéis imagináos un "plano proyectivo". Este objeto se puede comprender solo a través de varias representaciones diferentes. En cuanto al término "proyectivo", no es más que uno entre los mil inventados por los matemáticos para despistar a quienes desean penetrar en su círculo cerrado. Zanichelli no os será de ninguna utilidad en matemáticas.

Queda entonces ver cómo pasar a la superficie de Boy, que es una inmersión del plano proyectivo

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