Geometría de las superficies modelos matemáticos

Cómo convertir una superficie Cross Cap en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidad de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de septiembre - 25 de octubre de 2003 **

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Presentamos el modelo desde otro punto de vista:

Tabla 14: repetimos siempre la misma operación creando el tercer "pabellón" de la curva de autointersección. En el modelo poliédrico, esta última tiene la forma de tres cuadrados con un vértice común: el punto triple T .

Tabla 15: al girar el objeto encontraréis la versión poliédrica de la superficie de Boy que había presentado en el Topologicon (donde también podéis encontrar un plano de montaje que permite construirla).

Última tabla: he intentado ilustrar la superficie de Steiner mientras se retuerce y se transforma en una superficie de Boy.

Vemos que, dibujada en "redondeado", se necesita bastante práctica para entenderla. Nuestro ojo se siente muy incómodo cuando se trata de comprender un objeto para el cual, en una misma línea visual, se superponen más de dos hojas. Por eso el interés del modelo poliédrico, que pone al alcance de cualquiera, si solo se intenta construir los pequeños modelos por sí mismo, transformaciones consideradas complejas en geometría. Observamos incidentalmente que, según las parejas de puntos cónicos elegidos, se obtiene una superficie de Boy "derecha" o "izquierda" (definiciones completamente arbitrarias). El plano proyectivo se sumerge en el espacio mediante dos representaciones "antiautomorfas" especulares. Por lo tanto, también vemos que se puede pasar de una superficie de Boy derecha a una superficie de Boy izquierda a través de un modelo "central" que es la superficie romana de Steiner.

Sería sin duda encantador si estos dibujos fueran publicados en revistas como Pour la Science o La Recherche. Pero desde hace veinte años me está "prohibida" la publicación en estas revistas debido a un "deviacionismo ufológico". Gracias, señores Hervé This y Philippe Boulanger. He perdido la cuenta de los artículos de este tipo que he propuesto a estas revistas y que me han sido gentilmente rechazados. Se acaba acostumbrando al estatus de "excomulgado".

Como anécdota, existe un "premio d'Alembert" destinado a recompensar a los autores de libros de divulgación matemática. La historia me la contó un miembro de la comisión encargada de decidir a quién se le debería otorgar el premio (hay cuestiones de dinero detrás). Diálogo:

• En fin, ¿por qué no le damos el premio a Petit? Ha escrito obras notables como el "Géométricon", el "Trou Noir" y el "Topologicon".

• Sí, pero no solo eso.

• ¿A qué se refiere?

• También escribió el "Mur du Silence".

• Ah, bueno, entonces...

Sí, el "Mur du Silence", publicado en 1983, es un álbum dedicado a la MHD. Y, como todos sabemos, esta ciencia corrosiva tiene como virtud, o defecto, de permitir a los discos volantes moverse a velocidades supersónicas sin hacer "Bang".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Tengo en mis cajas una versión magnífica del "girado del cubo", que no es la versión poliédrica de la variante de Morin. Todo es obra mía. Algún día...

22 de octubre de 2003: No se esfuerzan demasiado en estas páginas, si creo en el contador. El lunes 13 de octubre de 2003 di una conferencia en el CMI (Centro de Matemáticas e Informática de Château-Gombert-Marsella) invitado por Trotman. En esa ocasión pude sacar una colección de unos treinta modelos de cartón, de los cuales podrán disfrutar algún día, ya que fueron fotografiados por Christophe Tardy.

Cuando se da una conferencia, se crea cierta atmósfera. En la foto de abajo, aquí hay un geómetra que expresa su perplejidad.

En el fondo, una parte de los pequeños modelos expuestos con la ayuda de mi colaborador de larga data, Boris Kolev, miembro del departamento, también geómetra. En un momento, hice la pregunta:

• ¿Cuántos de ustedes ya han visto una superficie romana de Steiner? Levanten la mano.

Nadie la había visto nunca. Me pareció útil presentar este objeto, con un programa de realidad virtual, en el portátil que llevaba conmigo, programa realizado con la ayuda de Christophe Tardy, ingeniero, y de Frédéric Descamp, del Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Obviamente, esta presentación sorprende al público, poco acostumbrado a ver superficies matemáticas hacer giros a su antojo.

Dos tablas de cartón, visibles en primer plano, permitieron presentar toda la secuencia de modelos en su orden lógico. Los modelos en verde y amarillo ilustran, en forma poliédrica, la herramienta esencial de creación y disolución de un par de puntos cónicos. El objeto blanco más alejado es una versión poliédrica de la superficie Cross Cap, que se transforma primero en la versión poliédrica de la superficie romana de Steiner, luego, un metro más allá, a voluntad, en una superficie de Boy "derecha" o "izquierda".

El análisis de los modelos revela varias observaciones en el público. Uno de los geómetras pregunta:

*- Si es cierto que, siguiendo los modelos en este orden, se puede pasar de la superficie Cross Cap a la de Boy, parece que, siguiendo el procedimiento opuesto, se puede transformar una superficie de Boy en una Cross Cap. *

Respondo afirmativamente. Animado, mi interlocutor añade:

*- Entonces, si llegamos al estadio de la superficie romana de Steiner y nos detenemos, debería ser posible volver a una superficie de Boy, pero reflejada respecto a la inicial. *

Aprobo por segunda vez. Pero, lamentablemente, nadie se ofrecerá a dar alguna aclaración sobre este extraño mundo en el que se permite a las inmersiones de superficies cerradas tener puntos cónicos, creados o disueltos en pares, cuyo conjunto constituye una especie de extensión del mundo de las inmersiones. El término "summersione" me parece conveniente. Si un lector es capaz de dar alguna aclaración, es bienvenido.

Curvatura concentrada en un punto cónico.

La calcularemos sumando los ángulos en el vértice y comparando esta suma con el resultado obtenido en el caso del plano euclidiano: 2 p .

En la parte superior izquierda, pueden ver una de las muchas posibles representaciones poliédricas de un punto cónico. "Desmontando" la superficie se llega a una suma de ángulos que supera el valor 2p en 2a . Se deduce que la curvatura angular concentrada alrededor de este punto C es - 2a. Si el ángulo a es igual a p/2, entonces la curvatura negativa es -p (figura en la parte inferior izquierda). De hecho, la curvatura de un punto cónico puede tomar infinitos valores. En la parte inferior derecha, enfatizamos la suma angular y la curvatura se convierte entonces en < -p (hemos aumentado la curvatura negativa).

Operando de manera inversa, podemos llegar a una situación bastante sorprendente: podemos hacer que la curvatura (angular) concentrada en C sea ... nula:

Ahora partimos de una representación poliédrica de la superficie Cross Cap que incluye dos puntos cónicos, cada uno con curvatura igual a -p :

En esta figura hay ocho "posicones" correspondientes de valor + p/2. Añadimos otros cuatro "posicones" de curvatura + p/4 y cuatro "negacones" de curvatura - p/4.

Más los dos puntos cónicos de curvatura - p .

Total: 2 p

Dividiendo el valor de esta "curvatura total" por 2p recuperamos el valor de la característica de Euler-Poincaré de cualquier representación del plano proyectivo (o de la superficie de Boy).

Durante la conferencia mencioné el arte y el modo de permutar los dos puntos cónicos de una superficie Cross Cap utilizando el giro de la esfera. No sé más...