Esfera topología modelos matemáticos
Italiano: Andrea Sambusetti, universidad de Roma
Clickear aquí para que aparezca el dibujo del modelo a escala 1:1, para imprimir y recortar.
Fotocopiando cuatro ejemplares en cartulina de dos colores diferentes, podréis construir el modelo vosotros mismos,
siguiendo las indicaciones para montarlo
Sin duda habréis visto un objeto extraño girar incesantemente en la parte izquierda de la página de inicio de este sitio. ¿De qué se trata?
Un día, cuando encuentre el tiempo, instalaré en este sitio una descripción del volteo de la esfera, tal como lo había ilustrado en el número de Pour la Science de enero de 1979, es decir... ¡hace 22 años! Todo esto requerirá muchos detalles y una introducción. ¿Qué quiere decir "voltear una esfera"? Una esfera no tiene el mismo significado para un hombre común y para un matemático-geómetra. Para el hombre común, no es otra cosa que el conjunto de los puntos del espacio situados a una distancia R de un punto O prefijado. Un geómetra seguirá llamando "esfera", en cambio, incluso a un objeto que corresponde a una "esfera deformada", como una patata por ejemplo. Para comprender mejor estos conceptos, adquiere el CD de Lanturlu que contiene el cómic "Topologicon". Pero el matemático va aún más lejos. Una superficie se llama "regular" cuando en cada uno de sus puntos se puede definir un plano tangente. Esto ya permite pensar en una infinidad de deformaciones regulares posibles de la esfera, en las infinitas formas posibles de una patata, variando además de forma arbitraria el área de dicha superficie. Dicho esto, en nuestro universo físico una persona que intente voltear la esfera (es decir, llevar su superficie interna al exterior) se encontrará frente a la imposibilidad de lograr que su superficie se atraviese a sí misma. Cuando se asume esta hipótesis, es decir, se prohíbe que la superficie se atraviese a sí misma o incluso que simplemente se "toque", el matemático habla de "embebido" de la esfera S2. Pero un matemático siempre se permite todo. Una esfera es, para él, un objeto "virtual" y no material, en el que el atravesamiento de una hoja se considera posible. La secuencia de dibujos de abajo muestra una esfera que se atraviesa a sí misma. Una representación de este tipo, que admita es decir, autointersecciones, se llama una "inmersión".
Una inmersión, por lo tanto, posee un conjunto de autointersección (aquí se trata de una simple curva circular). Sin embargo, el plano tangente debe variar de manera continua. Dicho esto, cuando se mira el dibujo de arriba, se ve claramente que la operación lleva una parte de la superficie interna (representada en verde) al exterior. Para completar el volteo, sería necesario aplastar este tipo de intestino ecuatorial. Aquí parece haber un problema: este aplastamiento destruiría la continuidad del plano tangente, y esta transformación contendría por tanto un paso que no es una inmersión.
Un día, un matemático americano, Stephen Smale, demostró que "la esfera S2 posee una sola clase de inmersiones". Esta frase enigmática tenía como consecuencia que se debería poder pasar, mediante una transformación que contenga solo verdaderas inmersiones, de la esfera "estándar" a su representación "antípoda", es decir, en la que cada punto se intercambia con su antípoda: en otras palabras... una esfera volteada. Raoul Bott era el jefe de Smale. Tanto la demostración formal de este hecho parecía correcta, tanto nadie parecía capaz de realizar físicamente esta operación de volteo. Bott seguía preguntando a Smale "me muestre cómo piensa que se procedería"; a lo que Smale, notoriamente sin pelos en la lengua, respondía "no tengo la más mínima idea". Smale obtuvo posteriormente la medalla Field, el equivalente del Nobel para las matemáticas. Por cierto, quizás te preguntes por qué no existe el premio Nobel para las matemáticas. La respuesta es sencilla: su esposa se escapó con un matemático.
Las cosas siguieron así durante muchos años, hasta que un matemático americano llamado Anthony Phillips publicó en 1967 en Scientific American una primera versión de este volteo, extremadamente complicada. La segunda fue inventada a principios de los años setenta por el matemático francés (invidente) Bernard Morin. Fui yo el primero en dibujar la secuencia de transformaciones, que será objeto, como os he anunciado, de un próximo artículo en este sitio, además de estar bien abundante. De todos modos, todo esto nos lleva a una consideración. Las superficies pueden representarse en forma poliédrica. Un cubo o un tetraedro pueden considerarse representaciones poliédricas de la esfera, en el sentido de que estos objetos tienen la misma topología. En este punto, consultad mi Topologicon. Además se entiende que, si es posible voltear la esfera, será igualmente posible voltear un cubo. La transformación inventada por Bernard Morin (que ilustro en el artículo de enero de 1979 en Pour la Science) pasa por un modelo central. Existe una simetría en esta secuencia. Es aquella que llamo "modelo central de 4 orejas". Estoy anticipando cosas. De todos modos, como la esfera se presta a representaciones poliédricas, lo mismo ocurre con los pasos siguientes de esta transformación. Lo que veis girar en mi página de inicio es la versión poliédrica del modelo central del volteo de la esfera, que inventé hace una década. El interés de estos modelos poliédricos radica en el hecho de que se pueden construir con superficies planas. También se pueden construir con papel y tijeras. Echa un vistazo al dibujo que sigue a continuación (gracias entre paréntesis a mi amigo Christophe Tardy, que ha producido los elementos de la medida adecuada).
Es un plano de montaje del que aquí tienes una vista general. Pero para imprimirlo es preferible que vayas a la página découpage. Imprímelo. Luego, con este ejemplar impreso en el papel normal de tu impresora, fotocopia cuatro copias idénticas, dos en cartulina verde y dos en amarillo. Seréis capaces, mediante estos papeles para recortar, de construir el modelo central del volteo del cubo.
En los elementos para recortar hay pares de letras: a, b, c, d, e, f, etc. Es suficiente con doblar el papel llevando a coincidir las mismas letras, y luego fijar las caras con cinta adhesiva transparente. Los dibujos que siguen muestran la manera de montar uno de los cuatro elementos. Aquí está primero cómo hay que comenzar a doblar uno de los cuatro elementos:
Aquí están dos de los cuatro elementos, vistos desde ángulos diferentes.
Se colocan de modo que se forme un objeto con una simetría de orden cuatro, alternando elementos verdes y amarillos. Para verlo en 3D, echa un vistazo a la realización de Tardy, en la sección "realidad virtual". El modelo central está montado y también realizado en "vrml" en esta sección. Aquí lo tienes reproducido desde varios puntos de vista :
No se puede decir que un punto de vista corresponda al "arriba" y otro al "abajo", ya que estos nombres son perfectamente arbitrarios. En la imagen de la izquierda, el punto "central" corresponde al "punto doble" (en c...