Transformación de la Crosscap en superficie de Boy, pasando por la superficie Romena de Steiner
¿Cómo transformar una Crosscap en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie Romena de Steiner?
27 de septiembre - 25 de octubre de 2003
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Todo esto, como diría Kipling, es "gran astucia y magia poderosa".
Estoy en la jubilación, pero, podría decirse, sigo haciendo un poco de investigación, a pesar de mí mismo, como otros tejen filas de encaje. Si tienes paciencia y consigues hojas de cartulina cuadriculada de 200 gr, podrás reconstruir fácilmente todos estos modelos. Mi amigo Christophe Tardy está creando a partir de esto una animación, que debería ser bastante buena.
La Crosscap aparecerá en los dibujos que siguen, así como la superficie Romena de Steiner. Pero puedes descubrirlas yendo a la sección Realidad Virtual, que requiere que hayas descargado Cosmoplayer en tu máquina. Hazlo, es realmente divertido. Todo se juega gracias a los "puntos cuspideos". Estos puntos se forman naturalmente cuando montas a caballo y aprietas las piernas de golpe. El cuerpo del caballo se aplasta entonces a lo largo de un segmento. Su muslo izquierdo se conecta entonces con su hombro derecho, mientras que su muslo derecho se conecta con su hombro izquierdo. En cuanto al punto cuspideo, no lo busques: simplemente estás sentado encima;
Pero todo esto es... redondo. Pasemos a una "representación poliédrica" del punto cuspideo (al igual que un cubo o un tetraedro pueden considerarse representaciones poliédricas de una simple esfera). La línea gruesa representa la "curva de auto-intersección", terminada además por el punto cuspideo C.
Imprime estas láminas, será mejor. En lo que sigue, deberás reconocer un punto cuspideo en "diferentes configuraciones" y no confundirlo con un simple vértice del poliedro. Construye, si tienes valor, estos diferentes objetos con cartón, los comprenderás mejor. A continuación tenemos una operación esencial, llamada "creación-destrucción de un par de puntos cuspideos". El primer dibujo representa una especie de cilindro que se se interseca a sí mismo según la línea gruesa y cuya sección evoca la letra griega gamma, invertida. Luego se deforma esta superficie apretando el tubo cuya sección tiene la forma de una "lágrima invertida". Esta lágrima se degenera según un punto S. Luego este punto se duplica para dar dos puntos cuspideos. Esta es la creación de un par. La operación inversa hace aniquilar dos puntos cuspideos. Debajo encontrarás la versión poliédrica de la operación.
A continuación, otra representación poliédrica de la transformación que es cercana a lo que verás suceder en la superficie posteriormente.
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