Transformación de la Cross Cap en superficie de Boy, a través de la superficie Romana de Steiner
Cómo transformar una crosscap en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie Romana de Steiner.
**27 de septiembre - 25 de octubre de 2003 **
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Aquí tenemos una Cross Cap (como la habrás descubierto en las imágenes de realidad virtual). Tiene dos puntos cuspídeos que delimitan una línea de auto-intersección. Se puede fabricar pinchando un globo con un secador. Pero también puedes construir representaciones poliédricas. La de abajo nos interesa especialmente.
En esta placa 4 se encuentra el momento más difícil de comprender. Me parece casi imposible que alguien común entienda estas figuras simplemente mirando los dibujos. Construye estos modelos. En resumen, se tira del punto cuspídeo C2 hacia "el interior de la superficie" (lo cual no tiene sentido alguno ya que, sin duda habrás notado inmediatamente, la Cross Cap es unilátera. Al insistir, la superficie se atraviesa a sí misma y el conjunto de auto-intersección se completa, en "rondouillard" por una curva con forma de 8. En el proceso se crea un punto triple T.
La superficie es más comprensible en su forma poliédrica y, en la parte inferior, hemos aumentado ciertos elementos para mostrar lo que nos lleva a transformar este objeto en la Superficie Romana de Steiner (ver realidad virtual), cuya forma poliédrica más simple consiste en ensamblar cuatro cubos (aquí solo se ven tres).
Placa 5: el poliédrico a la izquierda, el "rondouillard" a la derecha. La flecha toma un camino que vamos a "apretar". En la parte inferior, el comienzo del apretamiento.
Placa 6: el apretamiento se realiza creando un punto singular B. En realidad, como se aprieta por ambos lados, para ganar tiempo; se forman dos puntos singulares S1 y S1 y dos pares de puntos cuspídeos. Allí, sin bristol, tijeras y cinta adhesiva, estás en problemas.
Placa 7: simplemente se ha migrado los diferentes puntos cuspídeos. Si el punto C2 es "evidente", tendrás un poco más de dificultad para identificar los puntos C3 y C4 como puntos cuspídeos. Sin embargo, están presentes al final de una línea de auto-intersección. Encima del punto C3 simplemente hay lo que he llamado un "posicoin", un punto de concentración de curvatura positiva (un punto de concentración de curvatura negativa es un "négacoin"). Al deformar un poco este objeto, se obtiene una forma poliédrica de la superficie Romana de Steiner (superficie de cuarto grado inventada por Steiner en Roma. Ver su presentación en realidad virtual).
Así, el truco está hecho. Existen diferentes tipos de superficies, según las reglas que nos imponemos. Las superficies que no se cortan a sí mismas se llaman inmersiones (de la esfera, del toro en R3). Cuando se cortan pero el plano tangente varía continuamente, se las llama inmersiones. Ejemplo: la botella de Klein en su representación clásica. No existe en R3 una representación de la botella de Klein en forma de inmersión. Se corta necesariamente a sí misma. Las inmersiones tienen conjuntos de auto-intersección exentos de puntos cuspídeos. Estas curvas son continuas pero pueden cruzarse en puntos dobles o triples. Observación: la esfera puede presentarse en forma de inmersión, simplemente haciéndola cortarse a sí misma. De hecho, es así como se logra darle la vuelta (A. Phillips, 1967, con como etapa central el revestimiento de dos hojas de una superficie de Boy; B. Morin y J. P. Petit, 1979 con como modelo central el modelo de Morin de cuatro orejas, cuya representación poliédrica inventé hace una década aproximadamente.
Plano para montaje de este objeto
con un corte
Si se extiende la regla del juego suponiendo que estos objetos tienen puntos cuspídeos, se obtienen submersiones (la Cross Cap, la superficie Romana de Steiner). No sé si es la palabra exacta, pero como no he encontrado a ningún matemático que me aclarara, me pareció divertido inventar uno, provisionalmente, hasta que un geómetra experto aparezca. Así, la Cross Cap y la superficie Romana de Steiner serían submersiones del "plano proyectivo".
Para decirte todo, después de mis dificultades con MHD durante veinticinco años había comenzado estos trabajos porque me parecían tan alejados como posible de cualquier aplicación militar. Pero, como me hizo notar mi viejo amigo Mihn, el término submersión podría prestar a confusión y hacer pensar a la Armada que a través de estos estudios estaría tratando de ocultar algún avance en propulsión submarina.
La regla de "creación-destrucción" de pares de puntos cuspídeos permite pasar de una submersión de un objeto a otra y es lo que acabamos de hacer mostrando que la Cross Cap y la superficie Romana de Steiner son dos submersiones de un mismo objeto llamado plano proyectivo. No intentes imaginar cómo se ve un "plano proyectivo". Este objeto solo puede comprenderse a través de sus diferentes representaciones. En cuanto a la palabra plano proyectivo, es solo una entre mil otras inventadas por los matemáticos para confundir a quienes desean penetrar en su círculo cerrado. El Larousse no te será de ninguna utilidad en matemáticas.
Entonces, pasamos a la superficie de Boy, que es una inmersión del plano proyectivo
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