Transformación de la Crosscap en superficie de Boy, a través de la superficie Romana de Steiner
¿Cómo transformar una crosscap en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie Romana de Steiner.
**27 de septiembre de 2003 **
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A continuación se presenta el modelo desde otro ángulo :
Plancha 14: Se repite la misma operación creando la tercera "oreja" de la curva de auto-intersección. En poliedro, esta tiene la forma de tres cuadrados con un vértice común: el punto triple T .
Plancha 15: al girar el objeto, se encuentra la versión poliedrica de la superficie de Boy que había diseñado y presentado en el Topologicon (donde se encuentra un recorte que permite construirla).
Última plancha: he intentado representar la superficie de Steiner (de cuarto grado, mientras que la de Boy es de sexto) mientras se contorsiona y se transforma en la superficie de Boy.
Se puede ver que, en "redondo", se requiere una gran experiencia para comprender el objeto. Nuestro ojo se siente muy incómodo al tratar de comprender un objeto donde, en una misma línea de visión, se superponen más de dos capas. Por eso el interés del poliedro, que hace accesibles al público general las transformaciones consideradas sofisticadas en geometría, ya que las personas hacen el esfuerzo de construir los modelos ellos mismos. A propósito, se observa que según las parejas de puntos cónicos elegidos, se obtiene una superficie de Boy "derecha" o "izquierda" (palabras totalmente arbitrarias). El plano proyectivo se inmersa según dos representaciones "enantiomorfas", en espejo. Se puede ver que se puede pasar de una Boy derecha a una Boy izquierda a través de un modelo "central" que es la superficie Romana de Steiner.
Sería sin duda agradable que estos dibujos fueran publicados en Pour la Science o La Recherche. Pero desde hace veinte años soy "prohibido de publicación" en estas revistas por causa de un "deviationismo ovni". Gracias señores Hervé This y Philippe Boulanger. No cuento ya los artículos de este tipo que he enviado a estas revistas y que me han sido amablemente devueltos. Al final uno se acostumbra a su estatus de excomulgado.
Como anécdota, existe en Francia un "premio Alembert" destinado a recompensar a autores de libros de divulgación matemática. La historia me fue contada por un miembro de la comisión encargada de decidir quién merecía el premio (había algunos euros en juego). Diálogo:
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Pero, ¿no podríamos otorgarle el premio a Petit? Ha hecho obras notables como el Géométricon, el Trou Noir y el Topologicon.
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Sí, pero no solo ha hecho estos álbumes.
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¿A qué se refiere?
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También escribió el Mur du Silence.
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Ah, en esas condiciones....
Sí, el Mur du Silence, publicado en 83, es un álbum dedicado a la MHD. Y, como todos saben, esta ciencia sulfurosa tiene la virtud, o la maldad, de permitir a las naves volantes evolucionar a velocidad supersónica sin hacer ruido.
Ocultad esta ciencia, que no la quiero ver
Tengo en mis cajones una versión del "girado del cubo" excelente con un modelo central de toda belleza, que no es la versión poliedrica de la variante de Morin. Todo de mi cosecha. Algún día....
22 de octubre de 2003: No hay mucha afluencia en estas páginas, según el contador. El lunes 13 de octubre de 2003 di una conferencia en el CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) invitado por Trotman. En esa ocasión pude alinear una colección de unos treinta modelos de cartón, que tendrán pronto la primicia, ya que fueron fotografiados por Christophe Tardy.
Cuando se da una conferencia, se crea un ambiente. En la siguiente foto, un geómetra que expresa su perplejidad.
En el fondo, parte de los modelos expuestos. En un momento pregunté:
*- ¿Cuáles de ustedes ya han visto una superficie Romana de Steiner? Levanten la mano. *
Nadie había visto nunca. Por lo tanto, consideré útil presentar el objeto, en realidad virtual, en la computadora portátil que había traído, objeto realizado con la colaboración de Christophe Tardy, ingeniero, y de Frédéric Descamp, del Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Obviamente, esta presentación desconcertó al público, poco acostumbrado a ver superficies matemáticas volar a voluntad.
Dos tableros de cartón, visibles en primer plano, permitieron presentar el resto de los modelos en su orden lógico. Los modelos "verde y amarillo" ilustran, en poliedro, la herramienta esencial de creación y destrucción de una pareja de puntos cónicos. El objeto blanco más alejado es una versión poliedrica de la Cross Cap, que primero se transforma en una versión poliedrica de la superficie Romana de Steiner, un metro más allá, y luego, a voluntad, en una superficie de Boy "derecha" o "izquierda".
El análisis de los modelos trae a la superficie diferentes observaciones en el público. Uno de los geómetras pregunta:
*- Si, siguiendo los modelos en este sentido, se puede pasar de la Cross Cap a la Boy, parece que al hacer lo inverso se debe poder transformar una Boy en Cross Cap. *
Respondo afirmativamente. Animado, mi interlocutor añade:
*- Si, al llegar al estado de la superficie Romana de Steiner, se detiene, entonces se puede volver hacia una superficie de Boy en espejo. *
Aprobo por segunda vez. Pero desafortunadamente nadie se ofrecerá a dar explicaciones sobre este mundo extraño donde se dotan de inmersiones de superficies cerradas de puntos cónicos, creados o anulados por pares, el conjunto constituyendo una especie de extensión del mundo de las inmersiones. La palabra "submersión" me parecería adecuada. Si un lector encuentra explicaciones, serán bienvenidas.
Curvatura concentrada en un punto cónico
Se calculará sumando los ángulos en el vértice y comparando esta suma con la suma euclidiana: 2 p .
Arriba y a la izquierda, se representa una de las múltiples representaciones poliedricas del punto cónico. El "desmontaje" del objeto (a la derecha) conduce a una suma que excede la suma euclidiana 2 p en una cantidad 2 a . Se deduce que la curvatura angular concentrada en el entorno de este punto C es - 2 a. Si el ángulo a es igual a p/2, entonces la curvatura negativa vale **c **(figura abajo y a la izquierda). En realidad, la curvatura concentrada en un punto cónico puede tomar un número infinito de valores. Abajo y a la derecha, se aumenta la suma angular y la curvatura entonces < 2 a. Se aumenta la curvatura negativa.
Operando de manera inversa se puede llegar a una situación bastante sorprendente: hacer que la curvatura (angular) concentrada en C sea ... cero :
Ahora se puede partir de una representación poliedrica de la Crosscap donde figuran dos puntos cónicos correspondientes cada uno a una curvatura negativa igual a - p :
Hay ocho "posicoins" correspondientes a un valor + p/2. Añadamos otros cuatro "posicoins" de curvatura + p/4 y cuatro "négacoins" de curvatura - p/4
Más los dos puntos cónicos de curvatura - p .
Total: 2 p
Al dividir esta curvatura total entre 2 p se recupera la característica de Euler-Poinc...