Modelo central (poliédrico) del giro del cubo
El modelo central del giro del cubo
31 dic 2001
Todos habéis visto girar, sin parar, un objeto extraño en la parte izquierda de la página de inicio del sitio. ¿De qué se trata?
Un día, cuando tenga tiempo, instalaré en el sitio una descripción del giro de la esfera, tal como lo había ilustrado en el número de enero de 1979 de Pour la science, es decir, hace ... 22 años. Todo esto requeriría evidentemente muchos detalles e introducción. ¿Qué significa girar una esfera? Una esfera no tiene el mismo significado para el hombre de la calle y el matemático-geómetra. Para el hombre de la calle, se define como el conjunto de puntos situados a una distancia R de un punto fijo O en un espacio tridimensional. Un geómetra seguirá llamando "esfera" a un objeto que correspondería a una "esfera deformada", una especie de "patata". Para comprender mejor estos conceptos, adquiere el CD Lanturlu que contiene la viñeta "Le Topologicon". Pero el matemático va aún más lejos. Cuando una superficie se dice "regular", se puede definir en cada uno de sus puntos un plano tangente. Esto ya permite imaginar una infinidad de deformaciones de la "esfera inicial" en una infinidad de patatas, cuando además el área de dicha superficie puede ser cualquiera. Sin embargo, en un "universo físico", la persona que deforma esta esfera se encontraría con la imposibilidad de hacerla atravesarse a sí misma. Si estos atravesamientos o incluso estos contactos están prohibidos, se hablará entonces de inmersiones de la esfera S2. Pero un matemático se da todos los derechos. Una esfera es, para él, un objeto "virtual" donde los atravesamientos de capas se vuelven posibles. La serie de dibujos que sigue muestra una esfera que se ha "autoatrasado". Se llama entonces a esta representación de la esfera una inmersión.
Una inmersión tiene un conjunto de auto-intersección o de intersección propia (aquí una simple curva circular). El plano tangente debe variar continuamente. Si bien, al mirar los dibujos anteriores, se ve que la operación gira bien una parte (representada por el color verde) del interior de la esfera hacia el exterior. Para completar tal giro, habría que aplastar este tipo de boudin ecuatorial. La cosa parece a priori problemática. Este aplastamiento rompería la continuidad del plano tangente. La operación incluiría entonces una etapa que no sería una inmersión.
Un día, un matemático americano, Stephen Smale, demostró que "la esfera S2 tenía solamente una clase de inmersión". El corolario de esta frase enigmática era que se debía poder encadenar una secuencia de inmersiones de la esfera permitiendo pasar de la "esfera estándar" a su representación "antipodal", es decir, en la que todos los puntos hubieran sido reemplazados por su antípoda. En resumen ... una esfera volteada, cara contra cara. Raoul Bott era el jefe de Smale. Tanto la demostración de este último, puramente formal, parecía impecable, como nadie veía cómo abordar la operación. Bott le decía constantemente a Smale "muéstrame cómo te imaginarías proceder", a lo que Smale, con su famoso pelo en la lengua, respondía "no tengo la más mínima idea". Smale recibiría posteriormente la medalla Field, equivalente al Premio Nobel, pero para las matemáticas. Por cierto, te preguntarás tal vez por qué Nobel nunca quiso crear un Premio Nobel de matemáticas. La respuesta es sencilla: su esposa se fue con un matemático.
Las cosas permanecieron así durante bastante tiempo hasta que un matemático americano llamado Anthony Phillips publicó en 1967 en Scientific American una primera versión de este giro, terriblemente complicada. La segunda fue inventada a principios de los años setenta por el matemático francés (ciego) Bernard Morin. Yo fui el primero en dibujar esta secuencia de transformaciones que, ya he dicho, será el tema de un próximo artículo en el sitio, bastante extenso por cierto. Sea como sea, esto nos lleva a una conclusión adicional. Las superficies pueden ser representadas en forma poliédrica. Un cubo o un tetraedro pueden ser considerados como representaciones poliédricas de la esfera, en la medida en que estos objetos tienen la misma topología. En este punto, consulta mi cómic Le Topologicon. Además, se entenderá que si es posible voltear una esfera, también es posible voltear un cubo. La transformación inventada por Bernard Morin (que ilustro en el artículo de enero de 1979 de Pour la science) pasa por un modelo central. Existe una simetría en esta secuencia. Esto se llama "el modelo central con cuatro orejas". Allí también, anticipar. Pero al igual que la esfera puede prestar a representaciones poliédricas, lo mismo ocurre con las etapas sucesivas de estas transformaciones. El objeto que ves girar en mi página de inicio es así la versión poliédrica del modelo central del giro de la esfera, un modelo que inventé hace una década. La ventaja de estos modelos poliédricos es que se pueden construir con superficies planas. Incluso se pueden organizar según cortes. Echa un vistazo al dibujo siguiente (por cierto, gracias a mi amigo Christophe Tardy, quien produjo los elementos correctamente cotizados).
**Este es un dibujo que saldría en su impresora en formato pequeño, inutilizable. **
Para imprimir esta figura en
una hoja A4
Entonces, hay que hacer cuatro copias en papel fuerte A4, dos hojas de un color, dos de otro
Es un corte del que aquí tienes una vista general. Pero para imprimirlo, es mejor que vayas a la página corte. Imprímelo. Luego, con este ejemplar impreso en el papel normal de tu impresora, ve a una fotocopiadora y realiza cuatro copias idénticas de este dibujo, dos en hojas de cartulina verde y dos en hojas amarillas. Serás capaz, con este corte, de construir el modelo central del giro del cubo.
Tienes, en estos elementos cortados, pares de letras: a, b, c, d, e, f, etc. Solo tienes que realizar los dobleces llevando las mismas letras en coincidencia, y luego unir estas caras con cinta adhesiva transparente. Los dibujos que siguen muestran cómo montar uno de los cuatro elementos. Aquí está primero cómo hay que comenzar el doblado de uno de los cuatro elementos:
Aquí hay dos de estos cuatro elementos, vistos desde ángulos diferentes.
Estos se ensamblan luego para dar un objeto con simetría de orden cuatro o alternando elementos verdes y amarillos. Para ver esto en 3D, echa un vistazo a las realizaciones del señor Tardy, en "realidad virtual". El modelo central totalmente ensamblado también se produce en "vrml" en esta sección. Aquí está este objeto, visto desde diferentes ángulos:
No se puede decir que una vista corresponda al "arriba" y la otra al "abajo" ya que estas denominaciones serían completamente arbitrarias. En la vista de la izquierda, el punto "central" corresponde al "punto doble" (donde ...