Modelo central (poliédrico) del giro del cubo
El modelo central del giro del cubo
31 dic 2001
Todos habéis visto girar, incesantemente, un objeto extraño en la parte izquierda de la página de inicio del sitio. ¿De qué se trata?
Un día, cuando tenga tiempo, instalaré en el sitio una descripción del giro de la esfera, tal como lo había ilustrado en el número de enero de 1979 de Pour la science, es decir, hace ... 22 años. Todo esto evidentemente requeriría muchos detalles y una introducción. ¿Qué significa girar una esfera? Una esfera no tiene el mismo significado para un hombre de la calle y para un matemático-geómetra. Para el hombre de la calle, se define como el conjunto de puntos situados a una distancia R de un punto fijo O en un espacio tridimensional. Un geómetra seguirá llamando "esfera" a un objeto que correspondería a una "esfera deformada", una especie de "patata". Para comprender mejor estos conceptos, adquiere el CD Lanturlu que contiene la viñeta "Le Topologicon". Pero el matemático va más allá. Cuando una superficie se llama "regular", se puede definir en cada uno de sus puntos un plano tangente. Esto ya permite imaginar una infinidad de deformaciones de la "esfera inicial" en una infinidad de patatas, cuando además el área de dicha superficie puede ser cualquiera. Sin embargo, en un "universo físico", la persona que deforma esta esfera se encontraría con la imposibilidad de hacerla atravesarse a sí misma. Si estos atravesamientos o incluso estos contactos están prohibidos, se hablará entonces de inmersiones de la esfera S2. Pero un matemático se da todos los derechos. Una esfera es, para él, un objeto "virtual" donde los atravesamientos de capas se vuelven posibles. La secuencia de dibujos que sigue muestra una esfera que se ha "autotrazado". Se llama entonces a esta representación de la esfera una inmersión.
Una inmersión posee un conjunto de intersección o de auto-intersección (aquí una simple curva circular). El plano tangente debe variar continuamente. Si bien, cuando se miran los dibujos anteriores, se ve que la operación gira bien una parte (representada por el color verde) del interior de la esfera hacia el exterior. Para completar tal giro, sería necesario aplastar este tipo de boudin ecuatorial. La cosa parece a priori problemática. Este aplastamiento rompería la continuidad del plano tangente. La operación incluiría entonces una etapa que no sería una inmersión.
Un día, un matemático americano, Stephen Smale, demostró que "la esfera S2 no poseía más que una sola clase de inmersión". El corolario de esta frase enigmática era que se debía poder enlazar una secuencia de inmersiones de la esfera permitiendo pasar de la "esfera estándar" a su representación "antípoda", es decir, donde todos los puntos hubieran sido reemplazados por su antípoda. En resumen ... una esfera volteada, cara contra cara. Raoul Bott era el jefe de Smale. Tanto la demostración de este último, puramente formal, parecía impecable, como nadie veía cómo realizar la operación. Bott decía constantemente a Smale "muéstrame cómo te imaginarías proceder", a lo que Smale, con su famoso pelo en la lengua, respondía "no tengo la más mínima idea". Smale recibió posteriormente la medalla Field, equivalente al Premio Nobel, pero para las matemáticas. Por cierto, quizás te preguntes por qué Nobel nunca quiso crear un Premio Nobel de matemáticas. La respuesta es simple: su esposa se fue con un matemático.
Las cosas permanecieron así durante bastante tiempo hasta que un matemático americano llamado Anthony Phillips publicó en 1967 en Scientific American una primera versión de este giro, terriblemente complicada. La segunda fue inventada a principios de los años setenta por el matemático francés (ciego) Bernard Morin. Yo fui el primero en dibujar esta secuencia de transformaciones que, ya lo he dicho, será el tema de un próximo artículo en el sitio, bastante extenso por cierto. Sea como sea, esto nos lleva a una conclusión secundaria. Las superficies pueden ser representadas en forma poliédrica. Un cubo o un tetraedro pueden ser considerados como representaciones poliédricas de la esfera, en la medida en que estos objetos tienen la misma topología. En este punto, consulta mi cómic "Le Topologicon". Además, se entenderá que si es posible voltear una esfera, también es posible voltear un cubo. La transformación inventada por Bernard Morin (que ilustro en el artículo de enero de 1979 de Pour la science) pasa por un modelo central. Existe una simetría en esta secuencia. Esto se llama "el modelo central de cuatro orejas". Allí también, anticipe. Pero al igual que la esfera puede prestarse a representaciones poliédricas, lo mismo ocurre con las etapas sucesivas de estas transformaciones. El objeto que ves girar en mi página de inicio es así la versión poliédrica del modelo central del giro de la esfera, un modelo que inventé hace una década. La ventaja de estos modelos poliédricos es que se pueden construir con superficies planas. Incluso se pueden organizar según cortes. Echa un vistazo al dibujo siguiente (a paso, agradezco a mi amigo Christophe Tardy, quien produjo los elementos correctamente cotizados).
**Este es un dibujo que saldría en su impresora en formato pequeño, inutilizable. **
Para imprimir esta figura en
una hoja A4
Es necesario hacer cuatro copias en papel fuerte A4, dos hojas de un color, dos de otro
Es un corte del que aquí tienes una visión general. Pero para imprimirlo es preferible que vayas a la página corte. Imprímelo. Luego, con este ejemplar impreso en el papel normal de su impresora, vaya a una fotocopiadora y realice cuatro copias idénticas de este dibujo, dos en dos hojas de cartulina verde y dos en amarillas. Usted podrá, con este corte, construir el modelo central del giro del cubo.
Tiene, en estos elementos cortados, pares de letras: a, b, c, d, e, f, etc. Solo necesita realizar los dobleces llevando las mismas letras en coincidencia, y luego unir estas caras con cinta adhesiva transparente. Los dibujos que siguen muestran la forma de montar uno de los cuatro elementos. Aquí está primero cómo debe comenzar el doblado de uno de los cuatro elementos:
Aquí hay dos de estos cuatro elementos, vistos desde ángulos diferentes.
Estos se ensamblan luego para dar un objeto con simetría de orden cuatro o alternar elementos verdes y amarillos. Para ver esto en 3d, eche un vistazo a las realizaciones del Sr. Tardy, en "realidad virtual". El modelo central totalmente ensamblado también se produce en "vrml" en esta sección. Aquí está este objeto, visto desde diferentes ángulos:
No se puede decir que una vista corresponda al "arriba" y la otra al "abajo" ya que estas denominaciones serían totalmente arbitrarias. En la vista de la izquierda, el punto "central" corresponde al "punto doble" (o...