Cómo transformar una crosscap en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie romana de Steiner.
27 de septiembre - 25 de octubre de 2003
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He aquí una Cross Cap (tal como la habrán descubierto en las imágenes de realidad virtual).
Presenta dos puntos cuspidales que delimitan una línea de auto-intersección.
Se puede fabricar pellizcando un globo con unas tenacillas rizadoras.
Pero también pueden construir representaciones poliedrales de ella.
La de abajo nos interesará particularmente.
En esta lámina 4 se sitúa el momento
más difícil de aprehender. Me parece casi
imposible que cualquier persona entienda estas figuras mirando
simplemente los dibujos. Construyan estas maquetas. En pocas palabras, se tira del punto
cuspidal C2 hacia "el interior de la superficie"
(lo cual, por cierto, no tiene ningún sentido pues, como habrán notado
inmediatamente, la Cross Cap es unilateral. Insistiendo, la superficie
se auto-traspasa y el conjunto de auto-intersección se completa, en "redondeado",
mediante una curva en forma de 8. Se crea así, de paso, un punto triple T.
La superficie es más comprensible
en su forma poliedral y, abajo, hemos ampliado ciertos elementos
para mostrar lo que nos incita a transformar este objeto en una Superficie Romana
de Steiner (véase la realidad virtual), cuya forma poliedral
más simple consiste en ensamblar cuatro cubos (aquí solo se ven
tres).
Lámina 5: El poliedro a la
izquierda, el redondeado a la derecha. La flecha toma un paso
que se va a "pellizcar". Abajo, el inicio del pellizco.
Lámina 6: El pellizco se efectúa
creando un punto singular B. De hecho, como se pellizca por ambos
lados, para ganar tiempo, se forman dos puntos singulares
S1 y S1, y luego dos pares de puntos cuspidales. Ahí, sin
cartulina, tijeras y cinta adhesiva, están mal.
Lámina 7: Simplemente se ha hecho migrar
los diferentes puntos cuspidales. Si el punto C2 es "evidente",
tendrán un poco más de dificultad para identificar los puntos C3 y C4
como puntos cuspidales. Sin embargo, están presentes al final de una
línea de auto-intersección. Sobre el punto C3 se encuentra simplemente
lo que he llamado un "posicoin", un punto de concentración
de curvatura positiva (un punto de concentración de curvatura negativa
es un "negacoin"). Deformando un poco este objeto, se
cae en una forma poliedral de la superficie romana de Steiner (superficie
de grado 4 inventada por Steiner en Roma. Véase su presentación en realidad virtual).
Así pues, el truco está hecho. Existen
diferentes tipos de superficies, según las reglas que uno se impone.
Las superficies que no se auto-intersecan se denominan inmersiones (de la esfera, del toro en R3). Cuando se auto-intersecan pero el plano tangente varía continuamente, se llaman inmersiones.
Ejemplo: la botella de Klein en su representación clásica. No
existe en R3 una representación de la botella de Klein
en forma de inmersión. Se auto-interseca necesariamente.
Las inmersiones poseen conjuntos de auto-intersección exentos
de puntos cuspidales. Estas curvas son continuas pero pueden cruzarse
donde se encuentran puntos dobles o triples. Observación: la
esfera puede presentarse en forma de una inmersión, haciendo simplemente
que se auto-interseque. Es, de hecho, así como se logra
voltearla (A. Phillips, 1967, con como etapa central
el recubrimiento de dos hojas de una superficie de Boy; B. Morin y
J.P. Petit, 1979, con como modelo central el modelo de cuatro orejas de Morin, del cual he aquí una representación poliedral
que inventé hace unos diez años.
Plan para montar este objeto
mediante un recorte
Si se amplía la regla del juego
suponiendo que estos objetos poseen puntos cuspidales, se obtienen
submersiones (la Cross Cap, la Superficie Romana de Steiner). No sé
si es la palabra exacta, pero como no he encontrado ningún matemático
que pueda iluminarme, me pareció divertido inventar uno, provisionalmente,
hasta que un experto en geometría se manifieste. Así,
la Cross Cap y la Superficie Romana de Steiner serían submersiones del "plano
proyectivo".
Para decirles todo, después de mis desventuras
en materia de MHD durante veinticinco años, había emprendido
estos trabajos porque me parecían tan alejados como posible de
cualquier aplicación militar. Pero, como hacía notar mi viejo
amigo Mihn, el término submersión podría prestar a confusión y hacer
entender a la Marina Nacional que, a través de estas investigaciones,
intentaría esconder algún avance en materia de propulsión
submarina.
La regla de "creación-destrucción"
de pares de puntos cuspidales permite pasar de una submersión de un objeto a
otra, y es lo que acabamos de hacer al mostrar que la Cross Cap
y la Superficie Romana de Steiner eran dos submersiones de un mismo objeto llamado plano proyectivo. No busquen a qué se parece
un "plano proyectivo". Este objeto solo puede aprehenderse a través
de sus diferentes representaciones. En cuanto a la palabra plano proyectivo,
no es más que una entre mil otras inventadas por los matemáticos
para desviar a quienes quisieran penetrar en su círculo cerrado. El Larousse no les será de ninguna utilidad en matemáticas.
Nos queda entonces pasar a la superficie de
Boy, que es una inmersión del plano proyectivo
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de una Cross Cap en Boy "
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