Cómo transformar una crosscap en superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie Romana de Steiner.
27 de septiembre de 2003
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Se presenta entonces el modelo bajo otro ángulo:
Lámina 14: Se reedita la misma operación creando la tercera "oreja" de la curva de autointersección. En poliédrico esta tiene la forma de tres cuadrados que tienen un vértice común: el punto triple T.
Lámina 15: girando el objeto usted reencuentra la versión poliédrica de la superficie de Boy que había inventado y presentado en el Topologicon (donde se encuentra un recorte que permite construirla).
Última lámina: he intentado figurar la superficie de Steiner (de 4º grado, mientras que la Boy es de sexto) contorsionándose y transformándose en superficie de Boy.
Se ve que en "redondito" hace falta una buena costumbre para comprender el objeto. Nuestro ojo está muy incómodo cuando se trata de comprender un objeto donde, sobre una misma línea de vista se superponen más de dos capas. De ahí el interés de lo poliédrico que pone al alcance de cualquiera transformaciones consideradas como sofisticadas en geometría, en la medida en que la gente haga el esfuerzo de construir los modelos ellos mismos. De paso se observa que según las parejas de puntos cuspidales elegidos se obtiene una superficie de Boy "derecha" o "izquierda" (palabras totalmente arbitrarias). El plano proyectivo se sumerge según dos representaciones "enantiomorfas", en espejo. Se ve que se puede pasar de una Boy derecha a una Boy izquierda por intermedio de un modelo "central" que es la superficie Romana de Steiner.
Sin duda sería simpático que tales dibujos fueran publicados en Pour la Science o La Recherche. Pero desde hace veinte años estoy "prohibido de publicación" en esas revistas por causa de desviacionismo ovniesco. Gracias señores Hervé This y Philippe Boulanger. Ya no cuento los artículos de este género que he enviado a esas revistas y que me han sido cortésmente devueltos. Uno termina por acostumbrarse a su estatuto de excomulgado.
A título anecdótico existe en Francia un "premio d'Alembert" destinado a recompensar a autores de libros de divulgación en matemáticas. La historia me fue contada por un miembro de la comisión encargada de determinar a quién debía corresponder el premio (hay de todos modos algunos cuartos en juego). Diálogo:
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Pero en fin, ¿no se podría atribuir a Petit el premio? Ha hecho obras notables como el Géométricon, el Agujero Negro y el Topologicon.
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Sí, pero no ha hecho solo esos álbumes.
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¿A qué alude usted?
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También escribió El Muro del Silencio.
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Ah, en esas condiciones....
Pues sí, El Muro del Silencio, aparecido en el 83, es un álbum consagrado a la MHD. Y, como cada cual sabe, esta ciencia sulfurosa tiene por virtud, o por malicia, permitir a los platillos volantes evolucionar a velocidad supersónica sin hacer Bang.
Esconded esta ciencia, que yo no sabría verla
Tengo en mis cartones una versión del "retorno del cubo" soberbia con un modelo central de toda belleza, que no es la versión poliédrica de la variante de Morin. Todo de mi cosecha. Uno de estos cuatro.....
22 de octubre de 2003: No se agolpa la gente en estas páginas, si he de creer la cifra del contador. Di el lunes 13 de octubre de 2003 un seminario en el CMI (Centro de matemáticas y de informática de Château-Gombert-Marsella) por invitación de Trotman. Con la ocasión pude alinear una colección de una treintena de modelos en cartón, de los cuales tendrán ustedes un día próximo la primicia, habiendo sido estos fotografiados por Christophe Tardy.
Cuando se da un seminario, se desprende un ambiente. En la foto siguiente, un geómetra que expresa su perplejidad.
En segundo plano, una parte de los modelos expuestos. En un momento dado planteé la pregunta:
- ¿Quiénes han visto ya una superficie Romana de Steiner? Levanten la mano.
Nadie había visto nunca una. Juzgué pues útil presentar el objeto, en realidad virtual, en el portátil que había traído, objeto realizado con la colaboración de Christophe Tardy, ingeniero, y de Frédéric Descamp, del Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Visiblemente esta presentación desconcierta a la asistencia, poco habituada a ver las superficies matemáticas revolotear a voluntad.
Dos paneles de cartón, visibles en primer plano, habían permitido presentar la serie de modelos en su orden lógico. Los modelos "verde y amarillo" ilustran, en poliédrico, la herramienta esencial de creación-destrucción de una pareja de puntos cuspidales. El objeto blanco más distante es una versión poliédrica de la Cross Cap, que se transforma primero en versión poliédrica de la superficie Romana de Steiner, un metro más lejos y luego, a voluntad, en superficie de Boy "derecha" o "izquierda".
El análisis de las maquetas hace emerger diferentes observaciones en la asistencia. Uno de los geómetras pregunta:
- Si, siguiendo las maquetas en este sentido, se puede pasar de la Cross Cap a la Boy, parece que haciendo lo inverso se debe poder transformar una Boy en Cross Cap.
Respondo afirmativamente. Envalentonado, mi interlocutor añade:
- Si, llegando al estadio de la superficie Romana de Steiner se detiene uno, se vuelve entonces posible retomar hacia una superficie de Boy en espejo.
Apruebo una segunda vez. Pero por desgracia nadie se propondrá para dar aclaraciones sobre este mundo extraño donde se dota a las inmersiones de superficies cerradas de puntos cuspidales, creados o aniquilados por parejas, constituyendo el conjunto una especie de extensión del mundo de las inmersiones. La palabra "sumersiones" me parecería elegante. Si un lector echa mano de aclaraciones, serán bienvenidas.
Curvatura concentrada en un punto cuspidal
Se la calculará sumando los ángulos en el vértice y comparando esta suma con la suma euclidiana: 2 p.
Arriba y a la izquierda se ha hecho figurar una de las múltiples representaciones poliédricas del punto cuspidal. El "desmontaje" del objeto (a la derecha) conduce a una suma que excede la suma euclidiana 2 p en un valor 2 a. Se deduce que la curvatura angular concentrada en las proximidades de este punto C es - 2 a. Si el ángulo a es igual a p/2 entonces la curvatura negativa vale c (figura abajo y a la izquierda). En efecto la curvatura concentrada en un punto cuspidal puede tomar una infinidad de valores. Abajo y a la derecha se acentúa la suma angular y la curvatura debe entonces < 2 a. Se acentúa la curvatura negativa.
Operando de manera inversa se puede desembocar en una situación bastante sorprendente: hacer de modo que la curvatura (angular) concentrada en C sea ... nula:
Se puede partir ahora de una representación poliédrica de la Crosscap donde figuran dos puntos cuspidales que corresponden cada uno a una curvatura negativa igual a - p:
Hay ocho "posicoins" que corresponden a un valor + p/2. Añadamos otros cuatro "posicoins" de curvatura + p/4 y cuatro "negacoins" de curvatura - p/4
Más los dos puntos cuspidales de curvatura - p.
Total: 2 p
Dividiendo esta curvatura total por 2 p se reencuentra la característica de Euler-Poincaré de todas las representaciones del plano proyectivo (como la superficie de Boy).
En el curso de mi conferencia evoqué el arte y la manera de permutar los dos puntos cuspidales de una Cross Cap, utilizando el retorno de la esfera. Ya no sé si puse eso en algún lugar de mi sitio. Es un tal lío. Habrá que buscar, si no pondré eso en algún lugar. Es bastante divertido. Siempre es cierto que esta prestación no gustó gran cosa a uno de los presentes, durante el seminario.
- No veo por qué Petit hace uso de un tal aparejo para demostrar la simetría que une los dos puntos cuspidales de una Cross Cap. Hay mucho más simple.
Y trazó en la pizarra la imagen de una esfera aplastada por dos regletas que se hacen contiguas y que da efectivamente un conjunto de autointersección en forma de un segmento bordeado por dos puntos cuspidales, como es el caso de la Cross Cap. Por desgracia, y nuestro hombre se dio cuenta, eso no es una Cross Cap.
- Diantre, pero entonces ¿qué es? Preguntó alguien.
Es sencillamente una esfera, provista de dos puntos cuspidales. Si se les hace confluir se obtiene una línea de autointersección que se vuelve entonces un simple círculo. Y se obtiene abajo y a la izquierda (en corte) una inmersión de la esfera que no hay más que transformar en su encaje. Se puede además pasar a una representación poliédrica de esta superficie:
Es bilateral y la curvatura es 2 p.
Se puede pues divertirse bastante con estas "sumersiones". Tomemos una inmersión del toro que consiste en hacer girar el signo "infinito" o un "ocho", alrededor de un eje.
La técnica de confluencia de los puntos cuspidales nos permitirá llegar muy rápidamente al encaje estándar del toro, como indicado en la serie de dibujos.
Pero las cosas no se revelan a veces tan fáciles y evidentes. Tomo por ejemplo una esfera que aplasto entre dos segmentos que, esta vez, tienen longitudes inferiores al diámetro. Se obtienen aún dos puntos cuspidales.
Como se puede inscribir en ella una cinta de Moebius esta superficie es unilateral. Se ha hecho figurar su representación poliédrica que permite calcular su curvatura total. Se encuentra entonces cero. Si no me engaño sería entonces una botella de Klein. No se conoce en general más que la inmersión más clásica donde la línea de autointersección es un simple círculo. Pero hay otras, como esta. Confieso que no he encontrado todavía cómo transformar el objeto de arriba en una inmersión de la botella de Klein. No sé por lo demás si las diferentes inmersiones dependen del mismo grupo de homotopía (la esfera no tiene más que uno). A priori no, puesto que el toro puede ser sumergido de cuatro maneras diferentes, que no se pueden relacionar entre ellas por una homotopía regular. Mientras tanto me he divertido transformando esta superficie creando dos puntos cuspidales suplementarios y se obtienen entonces Dos Cross Caps unidas por un tubo. Descomponiéndolas se reencuentra una característica de Euler Poincaré igual a cero.
Esta "superficie rara" debería poder transformarse en una de las inmersiones de la botella de Klein. ¿Pero cuál? En todo caso he aquí una obtenida haciendo girar el "Ocho" alrededor de un eje y haciéndole operar por añadidura un medio giro:
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