El modelo central del volteo del cubo
31 dic 2001
Todos ustedes han visto girar, incansablemente, un objeto extraño en la parte izquierda de la página de inicio del sitio. ¿De qué se trata?
Algún día, cuando tenga tiempo, instalaré en el sitio una descripción del volteo de la esfera, tal como lo había ilustrado en el número de enero de 1979 de Pour la science, es decir, hace... 22 años. Todo ello requeriría, evidentemente, multitud de detalles e introducción. Voltear una esfera, ¿qué significa eso? Una esfera no tiene el mismo significado para el hombre de la calle y para el matemático-geómetra. Para el hombre de la calle, esta se define como, en un espacio de tres dimensiones, el lugar de los puntos situados a una distancia R de un punto fijo O de este. Un geómetra seguirá llamando "esfera" a un objeto que correspondería a una "esfera deformada", una especie de "patata". Para aprehender todos estos conceptos con mayor precisión, procúrense el CD Lanturlu portador del cómic "Le Topologicon". Pero el matemático va incluso más lejos. Cuando una superficie se dice "regular" se puede definir en cada uno de sus puntos un plano tangente. Esto permite ya contemplar una infinidad de deformaciones de la "esfera de partida" en una infinidad de patatas, cuando además el área de dicha superficie puede ser cualquiera. Siendo esto así, en un "universo físico" la persona que deforma esta esfera se topará con la imposibilidad de hacer que se atraviese a sí misma. Si estos atravesamientos o incluso estos contactos están prohibidos, se hablará entonces de encajes de la esfera S2. Pero un matemático se concede todos los derechos. Una esfera es, para él, un objeto "virtual" donde los atravesamientos de capas se vuelven posibles. La serie de dibujos que sigue muestra una esfera que se ha "autoatravesado". Se llama entonces a esta representación de la esfera una inmersión.
Una inmersión posee un conjunto de autointersección o de self-intersección (aquí una simple curva circular). El plano tangente debe variar continuamente. Siendo esto así, cuando se miran los dibujos de arriba, se ve que la operación vuelve bien una parte (representada por el color verde) del interior de la esfera hacia el exterior. Para completar tal volteo habría que aplastar esta especie de embutido ecuatorial. La cosa parece a priori problemática. Este aplastamiento rompería la continuidad del plano tangente. La operación comprendería por tanto una etapa que no sería una inmersión.
Un día un matemático estadounidense, Stephen Smale, demostró que "La esfera S2 no poseía más que una sola clase de inmersión". El corolario de esta frase sibilina era que se debía poder encadenar una secuencia de inmersiones de la esfera que permitiera pasar de la "esfera estándar" a su representación "antipodal", es decir, en la que todos los puntos habrían sido reemplazados por su antípoda. En resumen... una esfera volteada, del derecho y del revés. Raoul Bott era el jefe de Smale. Tanto la demostración de este último, puramente formal, parecía impecable, como nadie veía cómo proceder para realizar la operación. Bott le decía sin cesar a Smale "muéstreme cómo se propone proceder", a lo que Smale, con su famoso ceceo, respondía "no tengo la menor idea". Smale recibiría posteriormente la medalla Fields, equivalente al premio Nobel, pero para las matemáticas. De paso, quizá se pregunten por qué Nobel nunca había querido crear un premio Nobel de matemáticas. La respuesta es simple: su mujer se marchó con un matemático.
Las cosas quedaron en ese estado durante bastantes años hasta que un matemático estadounidense llamado Anthony Phillips publicó en 1967 en Scientific American una primera versión de este volteo, atrozmente complicada. La segunda fue inventada a principios de los años setenta por el matemático francés (ciego) Bernard Morin. Fui el primero en dibujar esta serie de transformaciones que será, ya lo he dicho, objeto de un próximo artículo en el sitio, bastante copioso por cierto. Sea como fuere, esto nos lleva a una conclusión anexa. Las superficies pueden ser objeto de representaciones poliédricas. Un cubo o un tetraedro pueden ser considerados como representaciones poliédricas de la esfera, en la medida en que estos objetos tienen la misma topología. Sobre este punto, consulten mi cómic el Topologicon. Además, se comprenderá que si es posible voltear una esfera, también es posible voltear un cubo. La transformación inventada por Bernard Morin (que ilustré en el artículo de enero de 1979 de Pour la Science) pasa por un modelo central. Existe una simetría en esta secuencia. Es lo que se llama "el modelo central de cuatro orejas". Ahí también me adelanto. Pero del mismo modo que la esfera puede prestarse a representaciones poliédricas, lo mismo ocurre con las etapas sucesivas de estas transformaciones. El objeto que ven girar en mi página de inicio es así la versión poliédrica del modelo central del volteo de la esfera, un modelo que inventé hace unos diez años. El interés de estos modelos poliédricos es que se pueden construir con superficies planas. Se pueden incluso disponer según recortes. Echen un vistazo al dibujo que sigue (agradezco de paso a mi amigo Christophe Tardy, que ha producido los elementos correctamente acotados).
Este es un dibujo que saldría en su impresora en formato pequeño, inutilizable.
Para imprimir esta figura en una hoja A4
Hay que hacer entonces cuatro fotocopias en papel grueso A4, dos hojas de un color, dos hojas de otro
Es un recorte del que tienen aquí una vista general. Pero para imprimirlo es preferible que pasen a la página recorte. Imprímanla. Luego, provistos de este ejemplar impreso en el papel normal de su impresora, vayan a una fotocopiadora y realicen cuatro copias idénticas de este dibujo, dos sobre dos hojas de cartulina verde y dos sobre amarillas. Van a estar en condiciones, con ayuda de este recorte, de construir el modelo central del volteo del cubo.
Tienen, en estos elementos recortados, pares de letras: a, b c, d, e, f etc.... Les basta con operar los pliegues llevando las mismas letras a coincidir, y luego ensamblar estas facetas con cinta adhesiva transparente. Los dibujos que siguen muestran la manera de montar uno de los cuatro elementos. He aquí primero cómo hay que empezar el plegado de uno de los cuatro elementos:
He aquí dos de estos cuatro elementos, vistos bajo ángulos diferentes.
Estos se disponen luego para dar un objeto que tiene una simetría de orden cuatro o que alterna elementos verdes y elementos amarillos. Para ver esto en 3d, vayan a echar un vistazo a las realizaciones del señor Tardy, en "virtual reality". El modelo central totalmente ensamblado también se produce en "vrml" en esta sección. He aquí este objeto, visto bajo diferentes ángulos:
No se puede decir que una vista corresponda al "arriba" y la otra al "abajo", ya que estas denominaciones serían totalmente arbitrarias. En la vista de la izquierda el punto "central" corresponde al "punto doble" (donde dos capas se cruzan) del modelo central de Morin, mientras que el punto central de la derecha equivale al "punto cuádruple" de ese mismo modelo (donde cuatro capas se cruzan). He tenido que orientar cuidadosamente el objeto, para que la figura de la izquierda no evoque una esvástica. Si no, arquitectónicamente hablando, esta representación poliédrica del modelo central de Morin habría podido constituir un muy buen proyecto de casa de la cultura Nacionalsocialista.
Última vista:
Una última observación: no existe una buena representación poliédrica del volteo de la esfera (alias el volteo del cubo). Por "buena" hay que entender una serie de modelos suficientemente explícitos que puedan montarse en forma de recortes de manera relativamente fácil, como el modelo de arriba. Habría que hacer una investigación en este sentido, que está al alcance de cualquiera, eventualmente de un no matemático, de un artista plástico, por ejemplo. Hace más de veinte años fui profesor de escultura en la Escuela de Bellas Artes de Aix en Provence, en la época en que esta aún estaba dirigida por mi excelente amigo Jacques Boullier. Fue en esos locales donde nació la primera representación meridiana de la superficie de Boy con ayuda de elipses, clave de la construcción de la primera ecuación implícita por Apéry. Debo decir que en aquella época siempre me sorprendió la imaginación geométrica de los estudiantes de arte, que superaba muy a menudo la... de los geómetras.
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