Los cuaterniones

La esfera S3 y los cuaterniones

BK

Si la esfera S3 se parece más al círculo S1 que a la esfera S2, es porque ambos corresponden al grupo de las unidades de un cuerpo de números: el cuerpo de los números complejos para S1 y el cuerpo de los cuaterniones para S3. Pero esto no funciona con S2 porque R3 no es un cuerpo de números.

Para comprender estas estructuras, voy a recordar cómo se hace de R2 un cuerpo de números sumergiéndolo en el álgebra de las matrices cuadradas 2×2 con coeficientes reales. Se verá luego que una construcción similar permite dotar a R4 de una estructura de cuerpo (el cuerpo de los cuaterniones) sumergiéndolo en el álgebra de las matrices cuadradas 2×2 con coeficientes complejos.

1. El cuerpo de los números complejos

Sea M2(R) el espacio de las matrices 2×2 con coeficientes reales. Es el espacio de las matrices

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

donde a,b,c,d son reales. Se sabe:

1. sumar dos matrices de M2(R),

2. multiplicar una matriz de M2(R) por un número real,

3. multiplicar dos matrices de M2(R) entre sí.

Para resumir estas tres propiedades se dice que M2(R) es un álgebra. Es de dimensión 4 porque hacen falta 4 parámetros para describirla.

A todo vector (x,y) del plano R2, se puede asociar la matriz cuadrada con coeficientes reales

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Se observa entonces que

1. la suma de 2 tales matrices es todavía de la misma forma

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. el producto por un real l de una tal matriz z es todavía de este tipo

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. el producto matricial de 2 tales matrices también

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Se ha construido por tanto un subespacio de M2(R), que se denotará C, estable por adición, multiplicación por un escalar y multiplicación matricial. Se dice que C es una subálgebra de M2(R). Es de dimensión 2. Se puede observar una propiedad importante de esta álgebra: es conmutativa

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

El determinante de una matriz z Î C se escribe

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

por consiguiente, toda matriz z en C no nula es invertible y su inversa

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

pertenece igualmente a C. Se dice que C es un cuerpo. Se acaba de redescubrir el cuerpo de los números complejos.

La matriz correspondiente al vector (1,0), es la matriz unidad ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

La matriz correspondiente al vector (0,1), se la denota i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Posee la propiedad notable

i

2

=

1

i

2

=

1

Con estas notaciones, se ve que todo número complejo se escribe de manera única

donde x e y son números reales.

El conjugado de un elemento z en C, se lo define como la traspuesta de la matriz z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

En el cuerpo de los números complejos hay dos subespacios notables. Por una parte están los múltiplos de la matriz unidad 1, es decir el conjunto de las matrices de la forma

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

que es estable por adición y multiplicación. Es el espacio real, idéntico al cuerpo de los reales y que aparece como un subcuerpo de C. También está definido por la ecuación

Hay igualmente el subespacio de las matrices z de traza nula (la traza de una matriz, es la suma de sus elementos diagonales)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Se lo llama el espacio imaginario. Es estable por adición pero no por multiplicación. Se observa que es igualmente el espacio de las matrices 2×2 que son antisimétricas.

Con estas definiciones, el producto escalar ordinario de dos vectores de R2 se calcula fácilmente. Si z1 es la matriz correspondiente a (x1,y1) y z2 es la matriz correspondiente a (x2,y2), entonces --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

La norma de un vector (x,y) correspondiente a z se escribe

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Se la llama igualmente el módulo o la norma del complejo z y se la denota | z|. Se tiene por supuesto | z1z2| = | z1|| z2|.

El subgrupo de las unidades del cuerpo C, que se denota U(1), es el conjunto de los elementos z de C que verifican

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Este conjunto es estable por multiplicación. El elemento 1 pertenece a U(1). Todo elemento de U(1) es invertible y su inversa está todavía en U(1). Se dice que U(1) es un grupo. Atención, la suma de dos elementos de U(1) no está en U(1) en general. La construcción precedente ha hecho aparecer por tanto el círculo S1 como un grupo, el grupo de los elementos unidades de C. La tangente al círculo S1 en el punto 1, lo que se llama el álgebra de Lie del grupo U(1), es la recta imaginaria definida por

2 El cuerpo de los cuaterniones

Definición.

Retomemos la construcción precedente para dotar a R4 de una estructura de cuerpo. Sea M2(C) el espacio de las matrices 2×2 con coeficientes complejos. A todo par de números complejos (a,b) se puede asociar la matriz cuadrada con coeficientes complejos

| - | a |
|---|

Se observa entonces que:

1. la suma de 2 tales matrices es todavía de la misma forma

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. el producto por un real l de una tal matriz q es todavía de este tipo

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

| l | - | a |
|---|

3. el producto matricial de 2 tales matrices también

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Se ha construido por tanto una subálgebra de M2(C) que se denotará K. Pero a diferencia de C, esta álgebra no es conmutativa. En efecto, se tiene por ejemplo

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

mientras que

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

El determinante de una matriz q Î K se escribe

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

por consiguiente, toda matriz q en K no nula es invertible y su inversa

--- ****

æ ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

pertenece igualmente a K. Se llama K el cuerpo de los cuaterniones. Es igualmente un espacio vectorial real de dimensión 4. Se puede escribir todo cuaternión q bajo la forma

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

donde

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Se verifican sin dificultad las relaciones siguientes:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

El producto escalar ordinario de dos vectores en R4 representados por los cuaterniones

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

y

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

se escribe

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

La norma de un vector (t,x,y,z) representado por q se escribe

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Se la llama igualmente el módulo o la norma del cuaternión q y se la denota | q|. Se tiene por supuesto | q1q2| = | q1|| q2|.

Cuaterniones reales e imaginarios.

El conjugado de un elemento q en K, se lo define como la traspuesta de la matriz conjugada de q

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Un cuaternión q se dice real si es de la forma

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

donde t es un número real. Esto permite identificar R con un subcuerpo de K. El subespacio de los cuaterniones reales está definido por la ecuación

| q = | - | q |
|---|

Se define igualmente el espacio de los cuaterniones imaginarios H por la ecuación

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Es un espacio de dimensión 3, engendrado por I,J,K. Está igualmente definido como el espacio de las matrices M de M2(C), antihermíticas

M = t`M = - M*

(M* es la traspuesta de la matriz de los elementos complejos conjugados) de traza nula

| Tr | (M) =0 |
|---|

Observación 1: * En el caso del cuerpo C, se había constatado que el espacio imaginario estaba constituido por las matrices reales 2×2 antisimétricas. Pero la traza de una matriz antisimétrica *

tM = - M * es necesariamente nula, lo que no es el caso de una matriz antihermítica *

M = t`M = - M .*

*El grupo de las unidades. * * *

El subgrupo de las unidades del cuerpo K, que se denota SU(2), es el conjunto de los elementos q de K que verifican

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Es el conjunto de los puntos que pertenecen a la esfera S3 que aparece así, dotada de una estructura de grupo, el grupo SU(2). El espacio tangente (de dimensión 3) a la esfera S3, que se llama el álgebra de Lie del grupo SU(2), es el espacio imaginario definido por

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Se podrá verificar que el corchete de Lie, de dos elementos de H, X e Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

pertenece todavía a H.

El espacio tangente a la esfera S3 en un punto cualquiera q se obtiene multiplicando a la izquierda por q los elementos del espacio imaginario H

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Cada geodésica de la esfera S3 que parte del punto 1 en la dirección X (donde X pertenece a H y | X| = 1) está definida por

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

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