Física matemática y geometría

Física y Geometría

2 de noviembre de 2004

La física matemática, cuyo pionero fue el matemático Jean-Marie Souriau, pasa por la geometría. A lo largo de este camino, las magnitudes propias de la física, como la energía, la masa, el momento, el espín, la carga eléctrica, se convierten en magnitudes de naturaleza puramente geométrica gracias a una herramienta: la teoría de grupos. ¿Qué se necesita para aventurarse en este universo, o esta forma de percibir el universo? No mucho: saber manipular matrices. Si estos objetos te son desconocidos, haz el esfuerzo de familiarizarte con ellos, la recompensa vale la pena. Si "ya viste esto en su momento", limpia tus conocimientos, podrán llevarte muy lejos y responder preguntas como:

• ¿Cuál es la verdadera naturaleza del espín de las partículas?

• ¿Qué es la antimateria?

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Acción coadjunta del grupo de Poincaré sobre su espacio de momentos

Atención: solo para lectores fuertemente "orientados a la ciencia". Esto no es divulgación científica

24 de octubre de 2004

La física siempre ha tenido una estrecha relación con la geometría. El matemático Jean-Marie Souriau es uno de los fundadores de la física matemática. Esta pasa por una geometrización de la física, muy elegante. Todo se basa en grupos con coeficientes reales, como el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré, representados aquí por matrices con coeficientes reales. En lo que sigue, todo parte de una única matriz G, relacionada con la métrica del espacio de Minkowski, que es el de la relatividad especial. Mediante esta matriz se define un primer grupo L, representado por matrices de tamaño (4,4). Este grupo actúa sobre el espacio-tiempo, compuesto por puntos-eventos. A partir de estas matrices y de un "vector de traslación espacio-temporal" C, se construye un segundo grupo representado por matrices (5,5), que también actúan sobre el espacio-tiempo. En este espacio-tiempo consideraremos "movimientos". El concepto de trayectoria es pobre. El movimiento de una partícula debe asociarse a magnitudes como su energía E y su momento p. Para un físico teórico, una partícula que sea un "punto material" debería poseer también un espín. Pero, ¿qué es un objeto así? ¿Puede un punto material "girar sobre sí mismo"?

Souriau introdujo geométricamente estas magnitudes partiendo únicamente de los grupos. Todo esto, debo reconocerlo, es bastante difícil. Un grupo "actúa". Todo comienza por el concepto de acción. El grupo actúa sobre los movimientos en el sentido de que un elemento del grupo de Poincaré transforma un movimiento en otro movimiento, que se inscribe en el espacio de los movimientos, el espacio-tiempo. Un grupo "transporta". El grupo euclidiano contiene, por ejemplo, traslaciones y rotaciones en un espacio tridimensional. Permite transportar puntos o conjuntos de puntos. Esta idea es bastante intuitiva. Cuando se trata del espacio-tiempo, "transportamos" movimientos. Consideremos dos ceniceros idénticos situados en dos lugares diferentes de un espacio tridimensional. Siempre existe un elemento del grupo euclidiano que permite, mediante una traslación y una rotación, colocar el primer cenicero sobre el segundo. Gracias al grupo, si conocemos la descripción de un cenicero en algún lugar del espacio, podemos construir "todos los ceniceros posibles", en todos los lugares del espacio y en todas las orientaciones posibles.

En el espacio-tiempo, el objeto es un "movimiento". Los movimientos gestionados por el grupo de Poincaré corresponden a los de un "punto material relativista". De la misma manera, gracias al grupo, si conocemos uno de estos movimientos, conocemos todos. Una partícula es un movimiento particular del punto material. Podríamos resumir esta forma de ver las cosas con la expresión:

Dime cómo te mueves, y te diré qué eres.

Souriau demostró que el espacio de los movimientos debía asociarse a un segundo espacio, que él llamó "espacio de momentos". Por "momento", Souriau entiende los parámetros asociados a una partícula dada. Cuando esta partícula es "observada" de cierta manera, es decir, descrita en un sistema de coordenadas adecuado, tres cantidades se destacan:

E, p, s

La energía E, el momento p y este objeto misterioso que es el espín s. Estos objetos aparecen entonces como magnitudes puramente geométricas a través de la acción coadjunta del grupo sobre su espacio de momentos.

Actualmente, los astrofísicos juegan con un objeto que llaman "energía oscura", el único nuevo ingrediente cósmico que les parece capaz de explicar el fenómeno de la reaceleración cósmica, relacionado con fuerzas repulsivas. Esta "energía oscura" es... negativa. Veremos que el enfoque presentado aquí también conduce a la existencia de objetos materiales con energía negativa, como simple consecuencia de las propiedades del grupo de Poincaré, que es capaz de generar movimientos de este tipo. Antes de pasar a esto, sería necesario que el lector científico leyera este documento e interiorizara su contenido. Desde el punto de vista técnico, esta lectura no requiere más que saber manejar matrices. Hace 15 años era nivel de terminale S, pero parece que ya no se enseñan en ese nivel. Una lástima, es una herramienta esencial, pero esta supresión probablemente responde a una "modernización de los programas".

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Partículas con energía negativa

25 de octubre de 2004

En la astrofísica actual, los teóricos tienden a centrar su atención en lo que llaman una "energía oscura", negativa, responsable de la reaceleración cósmica tal como se deduce de la observación de supernovas lejanas.

La teoría de grupos dinámicos de la física (grupo de Poincaré) permite aclarar este tema complejo. Una vez más, aquí solo se tratan elementos accesibles a científicos o lectores fuertemente "orientados a la ciencia".

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La carga eléctrica: un objeto geométrico

9 de noviembre de 2004

Al utilizar una invención del matemático Jean-Marie Souriau: la acción coadjunta de un grupo sobre su espacio de momentos, hemos recordado cómo este hizo surgir la energía, el momento y el espín como objetos puramente geométricos. En lo que sigue, repasaremos la forma en que procedió para hacer aparecer la carga eléctrica, también como objeto puramente geométrico. Añade a la estructura espacio-temporal cuatridimensional una quinta dimensión. Este conjunto pentadimensional es gestionado por un nuevo grupo dinámico de once dimensiones, una extensión no trivial del grupo de Poincaré. El aumento del número de dimensiones del grupo va acompañado del aumento del número de componentes del momento, identificándose esta undécima dimensión con la carga eléctrica q.

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