Hemos "limpiado" esta figura para hacerla un poco más legible. Una superficie es un objeto de 2 dimensiones, aquí "sumergido" en un espacio tridimensional euclidiano, R³. Podemos "verla" desde arriba. Resulta que esta superficie es "sumergible" en el espacio R³ "de manera isométrica". Es decir, si pegamos una cinta adhesiva sobre ella, esta se inscribirá efectivamente sobre una geodésica que une dos puntos A y B de la superficie. La longitud medida a lo largo del arco geodésico también es correcta. Es isométrica, etimológicamente "de la misma longitud". Más abajo hay una representación en 2 dimensiones que no es isométrica... la longitud del arco A'B' no es igual a la del arco AB. Construya el siguiente objeto con una hoja de papel, un lápiz y tijeras:
Esta figura no es isométrica. En primer lugar, la curva representada no es una geodésica del plano. En segundo lugar, el ancho del arco AB no es la "longitud real" que podría medirse en la "verdadera superficie", que "no tiene agujero". La hoja de papel con un agujero es simplemente una representación útil, nada más. Lo mismo ocurre con la técnica de dibujar en un lado de la hoja y luego en el otro, la curva entera solo apareciendo en transparencia.
En la figura siguiente, mostramos las geodésicas de la superficie, calculadas por computadora (como aparece en el artículo).
Las líneas punteadas de las curvas corresponden a las ramas situadas "al otro lado" (como si estuviéramos mirando la superficie "desde arriba").
Ahora una pregunta: ¿podemos construir una representación plana e isométrica de estas geodésicas? La respuesta es sí. Hemos visto que podemos cambiar la variable r por la variable r. Así, las geodésicas pueden representarse en un plano de "coordenadas polares" (r, j). Las geodésicas (aquí una geodésica no radial) tienen entonces el siguiente aspecto:
Se trata de una representación isométrica. Tres puntos A, B y C pertenecen a la superficie, situados en la misma geodésica. A', B' y C' son los puntos homólogos en esta representación [r, j]. Los puntos A y B están situados en el mismo hemisferio y el arco geodésico que los une no atraviesa el círculo de garganta. Medida en este plano, a lo largo de la imagen de la geodésica (que obviamente no es una geodésica de este plano), la longitud del arco A'B' es igual a la del arco AB, medida en la superficie.
El arco BC atraviesa la esfera de la garganta. Lo mismo ocurre.
Pero esta isometría no se aplica a todas las geodésicas de la superficie. Existe una, única en su manera: el círculo de la garganta, reducido aquí a un punto. Es la única superficie que se cierra sobre sí misma.
Las geodésicas son las únicas cosas que tenemos para comprender una superficie o, más generalmente, un espacio no plano, no euclidiano. Son referencias útiles (aunque tengamos una visión distorsionada en nuestros sistemas de representación bidimensionales y tridimensionales - en perspectiva). Sabemos que estas geodésicas existen, que son intrínsecas. Las de una esfera, por ejemplo, son círculos grandes. En el caso del espacio-tiempo, están llenas de una infinidad de geodésicas espacio-temporales. Las geodésicas existen de forma intrínseca y para comprenderlas (etimológicamente: sostener, tomar en brazos), intentamos "sentirlas" como hombres ciegos. Sin embargo, las líneas de coordenadas espacio-temporales no tienen realidad intrínseca, ni los dos conjuntos de meridianos y paralelos constituyen una parte integral de una esfera. No están "suministradas dentro". La geometría de Schwarzschild, solución de la ecuación de campo de Einstein, es una hipersuperficie de 4 dimensiones. Los teóricos les han pegado familias enteras de curvas, "t constante", "r constante", etc.
Nunca olviden que estos gestos son totalmente arbitrarios, aunque incluso los especialistas en cosmología teórica a menudo tienden a olvidar este punto, y a veces deben ser recordados por matemáticos geométricos. Por lo tanto, era perfectamente licito cambiar las coordenadas espacio-temporales.
En este punto, usted dirá: entonces, ¿qué nos dice que una elección de coordenadas es mejor que otra? ¿Qué es razonable o irrazonable? Es una cuestión de gusto. Elegir coordenadas espacio-temporales significa imponer una visión física a un objeto matemático. En el caso de la Tierra, le hemos atribuido polos cuando gira. El Polo Norte es simplemente la normal a la superficie "Tierra" que apunta hacia la Estrella Polar, una estrella fija en el cielo.
En materia de isometría y no isometría, la cartografía ilustra las dificultades para representar una esfera en un plano. La proyección de Mercator (proyección de la esfera terrestre sobre un cilindro tangente al ecuador) es muy agradable para quienes viven cerca del ecuador. Sin embargo, alguien que vive en uno de los polos se enfrenta a una mala sorpresa: su dominio puntual se transforma en una línea recta...
Existen cientos de maneras de proyectar una esfera en un plano. Imaginemos esto:
Imaginemos que fabricamos mapas a partir de este modelo y los vendemos. Un éxito inmediato entre quienes viven en los dos polos: las proyecciones son casi isométricas en estas regiones. Útiles para tener una idea de las distancias en esas zonas. Si la Tierra hubiera sido habitable en los polos y relativamente inhóspita en otras partes, los mapas probablemente habrían sido hechos así. Sin embargo, veríamos que el círculo límite de la proyección en un plano ya no corresponde al ecuador, sino a un paralelo (aquí en el hemisferio norte). Cerca de esta región, el mapa estaría muy lejos de la isometría. Además, en este mapa extraño, parte de la masa terrestre tendría que representarse con una línea continua normal y otra parte con una línea punteada, porque se encuentra más allá del paralelo donde el objeto, extrañamente, parece "doblarse sobre sí mismo". Quizás podríamos proporcionar mapas en un disco de papel, la masa terrestre restante apareciendo del lado opuesto de la hoja.
Intentemos ahora "imaginar todo esto en 3D". Hemos mostrado a Lanturlu introducir su brazo izquierdo en la esfera de la garganta a través de dos dibujos separados, lo que podría parecer implicar que el segundo espacio tridimensional está "en otro lugar". Para ser correcto, los dos dibujos en perspectiva deberían superponerse, la mano que emerge (derecha) representada por una línea punteada.
Lo intenté, aunque no fue fácil. Podría haber utilizado dos colores diferentes, rojo para las partes del primer lado tridimensional de nuestro espacio tridimensional no simplemente conexo, verde para el otro. Un Lanturlu rojo vería entonces su mano izquierda, que había introducido en la esfera, salir como una mano derecha verde.
Obviamente, "dentro" de la esfera de la garganta no hay nada. La apariencia de un interior, un contenido volumétrico, se debe simplemente a nuestra elección de este espacio de representación tridimensional. Al igual que en el agujero perforado en la hoja de papel, no hay papel tampoco. Fue simplemente un accidente relacionado con la elección de este espacio de representación plano. Si alguien insistiera en usar una representación plana sin retirar el disco cortado en el papel y preguntara repetidamente "¿qué hay dentro?", estaría completamente "fuera del campo" (o mejor dicho... dentro). El campo no existe.
Volvamos a la 3D. Cuando Lanturlu introduce su brazo en la esfera de la garganta, tampoco tiene un interior. La apariencia de un interior se debe simplemente a nuestra elección del espacio de representación. Podríamos considerar que Lanturlu y su mano que emerge fueron dibujados en una hoja de papel tridimensional de la que retiramos... una esfera (el equivalente tridimensional del disco de la hoja de papel). Matemáticamente, un disco es una "bola b²" y un "volumen esférico" es una "bola b³". Por "bola" entendemos una célula contractil (ver el Topologicon en el "CD-Lanturlu"), es decir, un objeto que puede contraerse en relación a un punto pasando por sí mismo. Los ejemplos bidimensionales y tridimensionales buscan ilustrar el plan de batalla del artículo: la esfera de Schwarzschild no tiene "interior", ni "centro". Cuando la cruzamos (paso hiper-tórico), nos encontramos en el "otro lado del espacio-tiempo".
¿Cuál es la justificación de esta nueva interpretación de la "geometría de Schwarzschild"?
Respuesta: la eliminación de singularidades. Kruskal, con su "prolongación analítica", hizo todo lo posible para penetrar en esta "esfera maldita". Solo logró encerrar la singularidad (el papel inicialmente ocupado por la esfera de Schwarzschild) en un punto situado "en el centro de este objeto". La gente se contentó con este truco de magia. Sin embargo, pensamos que es mejor sin singularidades.
La naturaleza protesta, cuando la miramos desde el lado equivocado, produciendo singularidades. Así es como vemos las cosas. Es una visión preconcebida de lo que es "real". Creemos que estas singularidades no existen en la naturaleza. También pensamos que el infinito no existe tampoco. Pero, como dijo Kipling, es otra historia. Tuve discusiones animadas con Souriau sobre esta cuestión el año pasado.
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¿Qué prueba que el infinito existe?
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¡Pero sin infinito no hay matemáticas!
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¿Alguna vez has encontrado el infinito? ¿Lo has visto, lo has tenido en tu mano?
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Es una... comodidad.
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Generamos números infinitamente grandes suponiendo que podemos sumar 1 a un número indefinidamente. Usamos una infinitud secuencial para generar una infinitud numérica. Se muerde la cola, tu truco.
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De acuerdo, digamos que es una comodidad. El hombre ha inventado dos cosas importantes durante su historia: el infinito y los retretes...
Tampoco creo que el infinitamente pequeño exista, ni físicamente ni matemáticamente. Pero eso será objeto de otros artículos. Dejemos estas cuestiones de lado por ahora. Una simple digresión.
en el sitio](/fr/article/f300-f301html)).
Como dijo Arquímedes, creo, en la entrada de un santuario de la ciencia, "nadie entra aquí quien no sea geómetra". Estos tensores y otras cosas, un campo que le gusta a Midy, son tan indigestos como la pastelería inglesa.
Así que, a través de esta discusión, vemos que nuestra visión física de estos fenómenos proviene de la manera en que decidimos representarlos. Al modificar las coordenadas espaciales, hemos cambiado la "topología local", un término que requiere una aclaración matemática según Souriau. En realidad, la frase es un eufemismo suave: simplemente comenzó a enfadarse cuando lo pronuncié, y mi gato Pioum y yo tuvimos la mayor dificultad en calmarlo. Souriau es el profesor Tournesol de las matemáticas. Es un practicante voluntario de la indignación matemática elevada. Sin embargo, esta indignación no debe confundirse con la ira en el sentido trivial de la palabra. Más bien, aquí juego el papel de Molière en "Monsieur Jourdain". Los físicos usan a menudo las matemáticas sin saberlo (y viceversa, en realidad).
Aceptando provisionalmente el uso de palabras "no especificadas", todo parece como si hubiéramos considerado solamente la "topología local" de la geometría de Schwarzschild como "hipersférica" (que la esfera de Schwarzschild "contiene" una "bola b³"). La hemos convertido en "hipertórica". Por eso propuse el término "geometrías hipertóricas".
Hemos mencionado anteriormente la inversión del espacio. Se negocia con los grupos. ¿Se puede entender de otra manera? Vimos que Lanturlu introducía su mano izquierda en la esfera de la garganta y veía salir una mano derecha. En realidad, cada átomo de su mano siguió una geodésica "radial", perpendicular a la superficie.
No olvidemos, por cierto, que este sistema de representación no es isométrico. Como en el papel con un agujero. Si medimos la distancia recorrida en los dos espacios medios por un átomo de prueba perteneciente a la mano de Lanturlu (Archibald Higgin en las ediciones inglesas), no coincidiría con la distancia real medida con un trozo de cuerda.
Volvamos a la figura mostrada anteriormente.
Aquí mostramos un arco geodésico AB que atraviesa el círculo de la garganta y su imagen en el espacio de representación plano inferior. El carácter no isométrico de la representación se vuelve aún más evidente. Las longitudes de los arcos AB y A'B' son muy diferentes.
Obviamente, es bastante difícil imaginar que se pueda pasar una cuerda a través de la esfera de la garganta de un paso hiper-tórico. Al apretar la cuerda, obtendríamos una geodésica (línea del camino más corto). Después de todo, si medimos la longitud de la cuerda en el espacio de representación tridimensional (Lanturlu empujando su brazo) y decidimos medir la longitud de la cuerda en este espacio, encontraríamos una longitud más corta A'B'. La longitud real, medida en la hipersuperficie tridimensional, sería más larga, como muestra el dibujo en 2D. Por lo tanto, la representación tridimensional con Lanturlu es no isométrica, al igual que la representación plana anterior.
Con la ayuda de algunos dibujos, estos conceptos sutiles, provenientes de la teoría de grupos, se vuelven menos herméticos, siempre que "se vea en el espacio". Eso es lo que intento enseñarte a hacer, ver en un espacio tridimensional curvado.
Volvamos a la cuestión de la enantiomorfia, la inversión de los objetos al atravesar la estructura de la garganta bidimensional o tridimensional. Imaginemos geodésicas radiales en 2D. La palabra se ha vuelto incorrecta, ya que en principio un radio es una línea recta que parte de un punto. En realidad, se trata de geodésicas con j constante. Vea el dibujo anterior que mostraba esta coordenada azimutal. Sin embargo, para mayor concisión, continuaremos utilizando la palabra "radial", entre comillas. Tenga en cuenta que la palabra "radial" ya es el resultado de la elección del espacio de representación. Imagine que una letra R (que no es idéntica a su imagen especular, su imagen enantiomorfa) se desliza como un transfer mal fijado a lo largo de nuestro paso toroidal, cada punto moviéndose según una geodésica. La letra terminará "al otro lado". Es interesante observar el resultado de la operación en una proyección plana en el espacio de representación.
Hemos mostrado un tipo de cinta cuyos bordes están formados por dos geodésicas. ¿Qué notamos? En el espacio de representación, la letra R se invierte para convertirse en un "ia" ruso, un R invertido, enantiomorfo. Comenzamos a comprender por qué la mano de Lanturlu parece invertida cuando emerge en el espacio de representación tridimensional, se vuelve enantiomorfa.