Pero
existen superficies que son intrínsecamente singulares, que poseen singularidades
que no se deben a una elección de coordenadas. He aquí un ejemplo: la singularidad cónica.
En
bruto, tal como la formuló Schwarzschild en 1917, las coordenadas t
, r , q , j (tiempo,
una distancia radial y dos ángulos, equivalentes al acimut y a la altura: coordenadas
"esféricas") la esfera de Schwarzschild es singular. Para un cierto valor Rs de la
"coordenada radial" r (que se supone medida desde un "centro geométrico") esta
métrica nos juega todo tipo de malas pasadas. Uno de los términos de la esfera tiene
un denominador no nulo. En resumen, es singular en esta esfera. ¿Es una singularidad
intrínseca o un artefacto introducido por una mala elección de coordenadas? Esa
es la pregunta que nos planteamos.
Señalemos
de paso que la "geometría de Schwarzschild" es una hipersuperficie tetradimensional,
lo que hace la cosa aún menos fiable.
Kruskal
se centró en este punto. Construyó un cambio de coordenadas que, entre otras
cosas, proporcionaba un valor constante para la velocidad de la luz a lo largo de una trayectoria radial.
Al hacerlo concentró el aspecto singular "en el centro del objeto"
en una "singularidad central". Psicológicamente sentimos que hemos ganado algo.
La solución se vuelve "regular casi en todas partes", una expresión que los matemáticos
usan para decir que una solución es regular, exenta de patología, excepto en un único
punto.
- No vas
a ponerte difícil por un solo puntito, seguramente....
Por
desgracia, la formulación de Kruskal tiene una debilidad grave: no devuelve el espacio
de la relatividad especial infinita. Técnicamente no es infinitamente lorentziana,
sino "asintóticamente lorentziana".
Es
una cuestión esencial en física: ¿existen las singularidades? ¿Tolera la Naturaleza
la singularidad? La respuesta se formula en términos de creencia (como en realidad
ocurre con la existencia o inexistencia del infinito).
Buscamos
una nueva interpretación de esta misma geometría de Schwarzschild tratando de eliminar
toda singularidad y lo conseguimos. Nuestra respuesta es, por tanto:
- El
carácter singular de la solución de Schwarzschild está simplemente inducido por una mala
elección de coordenadas.
Técnicamente,
todo se apoya en el cambio de variable:
r = Rs +
Log chr
que se lee: r es igual a
Rs más el logaritmo del coseno hiperbólico de la variable
r . Sencillo excepto para científicos, especialistas o estudiantes de matemáticas superiores.
Para quienes son capaces de jugar con la fórmula, el valor r ya no puede volverse
inferior a Rs, incluso cuando r toma cualquier valor posible
desde menos infinito hasta más infinito.
Consideremos
una superficie obtenida al girar una parábola alrededor de una recta, así:
Esta
figura fue tomada del artículo. La superficie es infinita, de hecho, igual que
el meridiano-parábola que la creó al girar alrededor del eje z mostrado. Si
debemos absolutamente representarla con sus coordenadas (r,z,j) podemos esperar problemas
cuando preguntamos "¿cómo es esta superficie cuando r < Rs?"
Se encontrará
una respuesta... imaginaria, con raíces de cantidades negativas. Simplemente porque
entonces estamos "fuera de la superficie".
Esta
superficie, en matemáticas, se dice "no simplemente conexa", un término bárbaro
que simplemente designa superficies donde cualquier curva cerrada es incapaz de ver
disminuir su perímetro, deslizándose por la superficie hasta tomar un valor de cero.
Esto
es posible en una esfera, que es "simplemente conexa". Pero en la superficie en
cuestión vemos con bastante claridad que una curva cerrada que "rodea la
especie de pozo central" no puede ver su perímetro tender hacia cero, siendo el límite
el perímetro del "círculo de la garganta". Lo mismo ocurre con un toro, que
también es "no simplemente conexo".
Definimos
tal superficie a partir de su métrica, que es una buena ilustración de nuestro tema.
Al conservar la coordenada r, la superficie parece ser singular. Al usar el
cambio de variable dado arriba, ya no lo es. ¿A qué corresponde la coordenada
r? Simplemente "recorre" el meridiano de la parábola como se muestra en
la figura, tomando el valor cero en el círculo de la
garganta. La mitad de la superficie corresponde a r positivo,
la otra a r negativo. En el sistema de marcado de
puntos [r , j ] ya
no hay singularidad.
Hemos
decidido llamar a este tipo de objeto un "puente tórico" por analogía con el toro.
Sin embargo
se demuestra fácilmente, aún partiendo de métricas, que podemos dar a un objeto
una hipersuperficie tridimensional que tiene un "puente hipertórico". Entonces ya no hay ningún
círculo de garganta sino una esfera de garganta. Lo mismo ocurre con la superficie anterior, un círculo de
garganta parece conectar dos capas bidimensionales de modo que la esfera de garganta conecta dos
"semiespacios tridimensionales". Si estamos en uno de estos semiespacios tridimensionales y nos sumergimos en
la esfera de garganta, emergemos en el otro semiespacio.
Volvamos
a la superficie bidimensional mostrada arriba. La siguiente figura muestra cómo cuando
dibujamos "círculos que creemos concéntricos" vemos su perímetro reducirse,
alcanzar un mínimo y luego aumentar de nuevo.
En tres
dimensiones tenemos que imaginar una esfera que englobe completamente la esfera de garganta. Luego
otra dentro de esta (deberíamos decir "más allá" al seguir una dirección dada,
hacia la esfera de garganta). Suponemos que la superficie de esta esfera es menor.
Sin embargo, cuando alcanzamos la esfera de garganta, la superficie pasa por un mínimo
y luego comienza a aumentar... hasta el infinito si continuamos la operación.
Hemos
construido "métricas" de las superficies bidimensionales y tridimensionales que incluyen un "paso tórico" y
un "paso hipertórico" y, en el segundo caso, nos ha llamado la atención el parecido
con la métrica de Schwarzschild, donde emprendimos el cambio de coordenadas
y sacamos a la luz su carácter "no simplemente conexo", volviéndose el "interior" del
objeto simplemente "más allá de la esfera de garganta".
Así fue
posible eliminar toda singularidad.
En esa
etapa simplemente habíamos extendido el modelo del agujero negro a un tándem de "agujero negro-fuente
blanca". Sin embargo, para el "observador exterior", el tiempo necesario para cruzar
el puente hipertórico sigue siendo infinito. Parece que simplemente hemos mejorado el
modelo del agujero negro explicando de qué surgía.
Dijimos
antes que la elección de variables, en una solución geométrica, es totalmente arbitraria.
Lo que vale para el espacio también vale para el tiempo. Buscamos por tanto un cambio de variable temporal
como el inventado por Eddington en 1924:
Una vez más, solo lo mencionamos
para científicos sencillos y estudiantes de matemáticas superiores.
t es el antiguo "tiempo cósmico",
la antigua "variable cronológica" presentada en la solución inicial de Schwarzschild
de 1917.
t' es el nuevo "tiempo de Eddington".
Rs es el "radio de Schwarzschild (en cuyo caso deberíamos decir el perímetro
de Schwarzschild, dividido por 2p ).
c es la velocidad de la luz
(aquí constante).
Algo
que podría parecer extraño: mezclamos tiempo y espacio pero, con la materia, todo vale.
La elección del marcador temporal es completamente arbitraria. Solo pedimos que:
-
la métrica sea asintóticamente
lorentziana, es decir que en el infinito el espacio-tiempo se convierta en el espacio-tiempo de Minkowski,
el de la relatividad especial. En nuestro caso funciona (no para Kruskal). -
el nuevo tiempo t' se identifique,
también en el infinito, con el "tiempo de un observador supuestamente inmóvil".
Lo cual también es el caso (no para Kruskal).Al hacerlo
el tiempo de caída libre de una partícula de prueba, infinitamente inmóvil y cayendo
hacia la esfera de Schwarzschild, se vuelve infinito en relación con "el tiempo
transcurrido por el observador exterior", que está lejos e inmóvil.Sin embargo
la partícula emergería del sumidero en un tiempo infinito. Como en el
agujero negro podemos entrar en esta especie de sumidero tridimensional pero no podemos salir,
excepto en un tiempo infinito.El
otro lado es un resurgencia. Pero con tal elección de tiempo (t') la partícula
emerge de la resurgencia en un tiempo infinito mientras que es capaz de penetrar
en un tiempo finito. Ese era un punto conflictivo. La solución consiste en efectuar
una especie de doble cambio de variable, que tenemos todo el derecho a hacer,
para la porción de espacio-tiempo que se supone que es la nuestra:
En el
"universo gemelo":
El
mecanismo cósmico funciona así perfectamente.
-
Ninguna singularidad.
-
Podemos entrar en el "sumidero"
pero no podemos salir (agujero negro). -
Podemos salir de la
resurgencia pero no podemos entrar (fuente blanca).Bien,
diréis, estamos progresando...Sí
y no. El problema es que el tiempo de tránsito en el paso hipertórico es de solo
unas centésimas de segundo. Y este Moloc es capaz de tragarse cualquier cosa,
diez masas solares por ejemplo, en menos tiempo del que tarda una bala en
atravesar un naipe.La
conclusión es que, mediante esta representación más racional de la solución
geométrica, los agujeros negros no podrían existir. Son... ficción matemática. Solo
pueden existir en virtud de esta "congelación del tiempo". Sin embargo, con el "tiempo de Eddington",
que satisface todas las exigencias de la física, el tiempo de tránsito se vuelve finito.
Conclusión: esta geometría de Schwarzschild
es, en nuestra opinión, solo una instantánea, una imagen instantánea, de un proceso
no estacionario de transferencia hiperespacial. Es como si, al mostrar la foto de un yunque
que alguien hubiera lanzado al aire, concluyeras que todos los yunques flotan en el aire. La
solución de Schwarzschild es también la solución de una ecuación que implica que
el universo está perfectamente vacío, que la densidad de materia-energía es nula en
cada punto. Un poco como si alguien te mostrara la foto de un estadio de fútbol
tomada después de que los jugadores hubieran dejado el campo en el descanso y concluyeras que
al fútbol se juega en campos vacíos.
Entonces, ¿qué
ocurriría?
Hemos
mostrado que durante el paso por la esfera de garganta, la coordenada temporal
se invertía. Si llamamos t' al tiempo (de Eddington) correspondiente a nuestro "lado
del espacio-tiempo" y t'* al "marcador temporal" del universo gemelo tenemos:
t'* = -
t'
Nótese
que en 1967 Andrei Sajarov fue el primero en sugerir que dos universos con tiempos
invertidos se crearon en el momento del "Big Bang".
Queda
por entender qué significa "inversión del tiempo". ¿Significa que cuando nos
sumergimos en el universo gemelo nos volvemos más jóvenes? Hemos mostrado que no es
así. "Tomamos nuestro propio tiempo" y si emergiéramos un poco más allá mediante una estructura
simétrica, no seríamos más jóvenes que cuando entramos en el universo gemelo.
Imposible entonces "matar a tu propio padre" como en "El viajero imprudente"
("Le Voyageur Imprudent") de Barjavel.
Los
grupos, una vez más, nos han permitido dilucidar el sentido "ontológico" de la inversión
de la coordenada temporal. Cuando una partícula se sumerge en el universo gemelo su acción
gravitatoria se hace sentir, pero su contribución al campo gravitatorio se vuelve
entonces negativa. Su "masa gravífica" se invierte.
Por
cierto, esto justifica totalmente el modelo desarrollado en el sitio y en el libro
"Hemos perdido medio universo" ("On a perdu la moitié de l'univers")
(Albin Michel). Las masas que vagan por los universos gemelos se comportan como masas
repulsivas en relación con las masas presentes en nuestro universo.
-
Según Newton,
las masas se atraen en nuestro universo. -
Según Newton,
las masas se atraen en el universo gemelo. -
Cuando masas situadas
en dos porciones "adyacentes" del espacio-tiempo interactúan, se repelen.
Esta es una simple consecuencia
de la inversión de la variable temporal (pero no del tiempo).
Los
grupos también muestran cómo la dualidad materia-antimateria existe en ambos universos,
como imaginó Andrei Sajarov.
Cuando
una partícula de materia logra pasar al universo gemelo (ya veremos cómo más adelante)
sigue siendo materia, pero "simétrica CPT". Este es el sentido del famoso
"teorema CPT" de la física (nunca demostrado. Lo que Souriau llama un "teorema de médicos").
Clásicamente los médicos dicen "el simétrico CPT de la materia es idéntico a la
materia". La simetría CPT significa:
-
La partícula, en su
nueva guarida, se mueve en "tiempo hacia atrás": simetría T. -
Es enantiomorfa,
invertida derecha e izquierda, en "espejo": simetría P. -
Todas sus "cargas" están
invertidas, incluida su carga eléctrica, si la tiene. Esto es la simetría C.Para
nosotros, el simétrico CPT de una partícula es una partícula del gemelo (o que ha entrado
en el gemelo). Es una partícula gemelar. Como tiene simetría T, su masa se invierte
automáticamente (resultado obtenido inicialmente por J. M. Souriau en 1974).
El simétrico C de una partícula
es su antipartícula.
Feynman
descubrió que el simétrico PT de una partícula se comportaba como una antipartícula. Exacto,
pero se trata de... la antimateria del gemelo, con masa negativa (porque
también tiene simetría T). Todo eso surge de la historia de los grupos. Este trabajo
establece el vínculo entre todo lo publicado hasta ahora (en el sitio véase Física
Geométrica B en la sección 'geometrizar la antimateria'). Puede obtenerse una buena ilustración de
este asunto de la inversión del espacio. En el artículo insistimos con frecuencia
en la idea de un espacio de representación. Es el espacio en el que representamos mentalmente
los objetos geométricos. Antes usamos una imagen en la que Lanturlu mete
la mano en la esfera de garganta y parece emerger en otro universo tridimensional.
Por necesidades de ilustración el dibujo está separado en dos figuras.
Pero hay algo que probablemente no notasteis al principio: Lanturlu mete
su mano izquierda en la esfera pero es su mano derecha la que
emerge. Esto no es un accidente.
¿Dónde está
el segundo universo?
Está
encajado en el nuestro, lo cual es un poco difícil de entender. Será más sencillo
si volvemos a la superficie bidimensional, la "planilandia".
