Hemos "limpiado" la figura aquí para hacerla un poco más legible. Una superficie es un objeto 2d, aquí "sumergido" en un espacio 3d por lo demás euclidiano en R3. Podemos "verla" desde arriba. Da la casualidad de que esta superficie es sumergible en el espacio R3 "de manera isométrica". Es decir, que si pegamos un poco de cinta sobre ella, esta se inscribirá efectivamente sobre una geodésica que une dos puntos de la superficie A y B. La longitud medida a lo largo del arco geodésico también es correcta. Es iso-métrica, etimológicamente "la misma longitud". Abajo hay una representación 2d que no es isométrica... la longitud del arco A'B' no es igual a la del arco AB. Construya el siguiente objeto con la ayuda de una hoja de papel, un lápiz y un par de tijeras:
Este dibujo no es isométrico. En primer lugar, la curva mostrada no es una geodésica del plano. En segundo lugar, la anchura del arco AB no es la "longitud real" que podría medirse sobre la "superficie real", que "no tiene agujero". La hoja de papel con un agujero no es más que una representación útil, nada más. Lo mismo ocurre con la técnica de dibujar en un lado de la hoja y luego en el otro, apareciendo la curva entera solo en transparencia.
En la siguiente figura hemos mostrado las geodésicas de la superficie, calculadas por ordenador (que figura en el artículo).
Las líneas punteadas de las curvas corresponden a las ramas del "otro lado" (como si estuviéramos mirando la superficie "desde arriba").
Ahora una pregunta: ¿podemos construir una representación plana e isométrica de estas geodésicas? La respuesta es sí. Hemos visto que podemos cambiar la variable r por la variable r. Así pues, las geodésicas pueden figurarse en un plano de "coordenadas polares" ( r , j ). Las geodésicas (aquí una geodésica no radial) se parecen a lo siguiente:
Esta es una representación isométrica. Es decir, tres puntos A, B y C pertenecientes a la superficie, situados sobre la misma geodésica. A', B' y C' son puntos homólogos en esta representación [ r , j ]. Los puntos A y B están situados sobre la misma hemicapa y el arco geodésico que los une no cruza el círculo de la garganta. Medida en este plano, a lo largo de la imagen de la geodésica (que obviamente no es una geodésica de este plano), la longitud del arco A'B' es igual a la del arco AB, medida en la superficie.
El arco BC cruza la esfera de la garganta. Lo mismo.
Pero esta isometría no se aplica a todas las geodésicas de la superficie. Existe una, única en su género: el círculo de la garganta, reducido aquí a un punto. Es la única superficie que se cierra sobre sí misma.
Las geodésicas son lo único que tenemos para comprender una superficie o, más generalmente, un espacio no plano y no euclidiano. Son marcadores útiles (aunque tengamos una visión distorsionada en nuestros sistemas de representación 2d y 3d (en perspectiva)). Sabemos que estas geodésicas existen, que son intrínsecas. Las de una esfera, por ejemplo, son grandes círculos. En el caso del espacio-tiempo, están llenas de una infinidad de geodésicas espaciotemporales. Las geodésicas existen intrínsecamente y para comprenderlas (etimológicamente: sostener, tomar en brazos) intentamos "sentirlas" como ciegos. Sin embargo, las líneas de coordenadas espaciales y temporales no tienen realidad intrínseca, ni los dos conjuntos de meridianos y paralelos forman parte integral de una esfera. No están "suministrados dentro". La geometría de Schwarzschild, una solución a la ecuación de campo de Einstein, es una hipersuperficie 4d. Los teóricos han pegado sobre ella familias enteras de curvas, "t constante", "r constante", etc.
Nunca olvide que estos gestos son totalmente arbitrarios, aunque incluso los especialistas en cosmología teórica a menudo pierden de vista este punto y, de vez en cuando, tienen que ser llamados al orden por los matemáticos-geómetras. Por lo tanto, era perfectamente lícito cambiar las coordenadas del espacio-tiempo.
Llegados a este punto dirá: entonces, ¿qué nos dice que una elección de coordenadas es mejor que otra? ¿Qué es razonable y qué irrazonable? Es una cuestión de gusto. Elegir coordenadas del espacio-tiempo significa colocar una visión física sobre un objeto matemático. En el caso de la Tierra, le hemos dado polos cuando gira. El Polo Norte es simplemente la normal de la superficie "Tierra" que apunta hacia la Estrella Polar, una estrella que permanece fija en el cielo.
En materia de isometría y no isometría, la cartografía ilustra las dificultades de intentar representar una esfera sobre un plano. La proyección de Mercator (proyección de la esfera terrestre sobre un cilindro tangente al Ecuador) es muy agradable para quienes viven cerca del Ecuador. Sin embargo, alguien que vive en uno de los polos se lleva una desagradable sorpresa: su dominio puntual se convierte en una línea recta...
Hay cientos de formas de proyectar una esfera sobre un plano. Imaginemos esto:
Imagine que hacemos mapas a partir de este modelo y los vendemos. Un éxito instantáneo entre quienes viven en los dos polos: las proyecciones son cuasi-isométricas en estas regiones. Útil para hacerse una idea de las distancias en esas zonas. Si la Tierra hubiera sido habitable en los polos y relativamente inhóspita en el resto, sin duda se habrían hecho mapas así. Sin embargo, veríamos que el círculo frontera de la proyección sobre un plano ya no corresponde al Ecuador sino a un paralelo (en el hemisferio norte aquí). Cerca de esta región el mapa se alejará mucho de la isometría. Además, en este extraño mapa, una parte de la masa continental debería mostrarse con una línea normal y continua y otra con una línea discontinua y punteada porque está situada más allá del paralelo donde el objeto, extrañamente, parece "plegarse sobre sí mismo". Quizás podríamos suministrar mapas sobre un disco de papel con el resto de la masa continental apareciendo en el otro lado de la hoja.
Intentemos "imaginar todo eso en 3D". Mostramos a Lanturlu sumergiendo su brazo izquierdo en la esfera de la garganta mediante dos dibujos separados, lo que podría parecer implicar que el segundo espacio 3D está "en otra parte". Para ser correctos, los dos dibujos en perspectiva deberían superponerse con la mano (derecha) emergente representada por una línea punteada.
Intenté hacerlo aunque no fue fácil. Podría haber utilizado dos colores diferentes, rojo para las partes en el primer lado 3D de nuestro espacio 3D no simplemente conexo y verde para el otro. Un Lanturlu rojo vería entonces una mano "izquierda" roja que había metido en la esfera salir como una mano "derecha" verde.
Obviamente "dentro" de la esfera de la garganta no hay nada. La apariencia de un interior, de un contenido volumétrico, se debe únicamente a nuestra elección de este espacio de representación 3D. Igual que en el agujero recortado en la hoja de papel tampoco hay papel. Fue solo un accidente ligado a la elección de este espacio de representación plano. Si alguien insistiera en utilizar una representación plana sin quitar el disco recortado en el papel y preguntara repetidamente "qué hay dentro", estaría completamente "fuera del campo" (o más bien... en él). El campo no existe.
Volvamos al 3D. Cuando Lanturlu sumerge su brazo en la esfera de la garganta, esta tampoco tiene un interior. La apariencia de un interior se debe simplemente a nuestra elección del espacio de representación. Podríamos considerar que Lanturlu y su mano emergente han sido dibujados sobre una hoja de papel que tuviera tres dimensiones y de la que hubiéramos quitado... una esfera (el equivalente 3D del disco de la hoja de papel). Matemáticamente, un disco es una "bola b2" y un "volumen esférico" es una "bola b3". Por "bola" entendemos una célula contractil (véase el Topologicon en el "CD-Lanturlu"), es decir, un objeto que puede contraerse con relación a un punto pasando por encima de sí mismo. Los ejemplos 2d y 3d están ahí para ilustrar el plan de batalla del artículo: la esfera de Schwarzschild no tiene "interior", ni "centro". Cuando la cruzamos (paso hipertórico) nos encontramos en el "otro lado del espacio-tiempo".
¿Cuál es la justificación de esta nueva interpretación de la "geometría de Schwarzschild"?
Respuesta: la eliminación de singularidades. Kruskal, con su "prolongación analítica", hizo todo lo posible por penetrar esta "esfera maldita". Solo consiguió empaquetar la singularidad (un papel que inicialmente desempeñaba la esfera de Schwarzschild) en un punto situado "en el centro de este objeto". La gente se contentó con este truco de prestidigitación. Sin embargo, pensamos que es mejor sin singularidad.
La naturaleza protesta, cuando la miramos desde el lado equivocado, segregando singularidades. Así es como vemos las cosas. Es una visión preconcebida de lo que es "real". Creemos que estas singularidades no existen en la naturaleza. También pensamos que el infinito tampoco existe. Pero como dijo Kipling, esa es otra historia. Tuve animadas discusiones con Souriau sobre la cuestión hace un año.
- ¿Qué prueba que el infinito existe? ...
- Pero, ¡sin infinito no hay matemáticas! ...
- ¿Ha encontrado alguna vez el infinito? ¿Lo ha visto, lo ha tenido en la mano?
- Es una... comodidad.
- Generamos números infinitamente grandes suponiendo que podemos sumar 1 a un número *indefinidamente*. Estamos utilizando un infinito secuencial para generar un infinito numérico. Se muerde la cola, su cosa.
- Vale, digamos que es una comodidad. El hombre ha inventado dos cosas importantes durante su historia: el infinito y los retretes...
Tampoco creo que lo infinitamente pequeño exista, ni física ni matemáticamente. Pero ese será el tema de otros artículos. Dejemos estas cuestiones de lado por el momento. Una simple digresión.
De pasada, véase "Scale Invariant Cosmology" de P. Midy y J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, junio de 1999, páginas 271-280, donde hicimos desaparecer "la singularidad inicial del universo". Es una reformulación más construida matemáticamente de una idea que publiqué en 88-89 en Modern Physics Letters A (artículos en el sitio).
Como dijo Arquímedes, creo, a la entrada de un santuario de la ciencia, "que no entre aquí quien no sea geómetra". Estos tensores y esas cosas, un campo que a Midy le encanta, son tan indigestos como el pudin inglés.
Vemos pues, a través de esta discusión, que nuestra visión física de estos fenómenos proviene de la forma en que decidimos representarlos. Al modificar las coordenadas espaciales hemos cambiado la "topología local", un término que requiere una aclaración matemática según Souriau. De hecho, la frase es un suave eufemismo: simplemente empezó a desvariar cuando lo dije y su gato Pioum y yo tuvimos la mayor dificultad para calmarlo. Souriau es el profesor Tornasol de las matemáticas. Es un practicante voluntario de la alta indignación matemática. Sin embargo, esta indignación no debe confundirse con la ira en el sentido trivial de la palabra. Más bien, que yo haga de "Monsieur Jourdain" de Molière es este ámbito. Los físicos a menudo utilizan las matemáticas sin saberlo (y viceversa, de hecho).
Al admitir, provisionalmente, el uso de palabras "no especificadas", todo ocurre como si hubiéramos considerado únicamente que la "topología local" de la geometría de Schwarzschild era "hiperesférica" (que la esfera de Schwarzschild "contiene" una "bola B3"). La hemos hecho "hipertórica". Por eso propuse el término "geometrías hipertóricas".
Mencionamos antes la inversión del espacio. Se negocia con los grupos. ¿Podemos entenderlo de otra manera? Vimos que Lanturlu sumergía su mano izquierda en la esfera de la garganta y veía salir una mano derecha. De hecho, cada átomo de su mano seguía una geodésica "radial", perpendicular a la superficie.
No olvidemos mencionar de pasada que este sistema de representación no es isométrico. Como ocurre con el papel con un agujero. Si midiéramos la distancia recorrida en los dos semiespacios por un átomo de prueba perteneciente a la mano de Lanturlu (la de Archibald Higgin en las ediciones inglesas), no coincidiría con la distancia real medida con un trozo de cuerda.
Volvamos a la figura mostrada anteriormente.
Aquí hemos mostrado un arco geodésico AB que cruza el círculo de la garganta y su imagen en el espacio de representación plano de abajo. El carácter no isométrico de la representación se hace aún más patente. Las longitudes de los arcos AB y A'B' son muy diferentes.
Obviamente es bastante difícil imaginar que podamos enhebrar una cuerda en la esfera de la garganta de un paso hipertórico. Al tensar la cuerda obtendríamos una geodésica (línea del camino más corto). Después de todo, si midiéramos la longitud de la cuerda en el espacio de representación 3d (Lanturlu empujando su brazo) y decidiéramos medir la longitud de la cuerda en este espacio, encontraríamos una longitud A'B' más corta. La longitud real, medida en la hipersuperficie 3d, sería más larga, como se muestra en el dibujo 2d. La representación 3d con Lanturlu es por tanto no isométrica, como lo es la representación plana de arriba.
Con la ayuda de algunos dibujos estos conceptos sutiles, desarrollados a partir de la teoría de grupos, se vuelven menos herméticos siempre que uno "vea en el espacio". Eso es lo que intento enseñarle a hacer, ver en un espacio 3d curvado.
Volvamos a la cuestión de la enantiomorfía, la inversión de objetos cuando cruzan la estructura de garganta 2d o 3d. Imaginemos geodésicas radiales en 2d. La palabra se ha vuelto incorrecta porque en principio un radio es una línea recta que sale de un punto. De hecho, se trata de geodésicas de j constante. Véase el dibujo anterior que mostraba esta coordenada azimutal. Sin embargo, para mayor concisión, seguiremos utilizando la palabra "radial" entre comillas. Ojo, la palabra "radial" ya es resultado de la elección del espacio de representación. Imagine que una letra R (que no es idéntica a su imagen especular, su imagen enantiomorfa) se desliza como una calcomanía mal fijada a lo largo de nuestro paso tórico, moviéndose cada uno de sus puntos según una geodésica. La letra se encontrará "al otro lado". Es interesante observar el resultado de la operación sobre una proyección plana en el espacio de representación.
Hemos mostrado una especie de cinta cuyos bordes están formados por dos geodésicas. ¿Qué notamos? En el espacio de representación la letra R se invierte para convertirse en una "ia" rusa, una R invertida, enantiomorfa. Empezamos a comprender por qué la mano de Lanturlu parece invertirse cuando emerge en el "espacio de representación 3d", se vuelve enantiomorfa.
