Pero existen superficies que son intrínsecamente singulares, poseyendo singularidades que no son debidas a una elección de coordenadas. Ejemplo a continuación: la singularidad cónica.
La superficie de Schwarzschild, tal como fue formulada en 1917 por Schwarzschild en coordenadas t, r, q, j (el tiempo, una distancia radial y dos ángulos, equivalentes a azimut y sitio: coordenadas "esféricas"), es singular. Para un cierto valor Rs de la "coordenada radial" r (supuesta ser medida desde un "centro geométrico"), esta métrica nos juega malas pasadas. En esta esfera, uno de los términos tiene un denominador nulo. En resumen, es singular en esta esfera. ¿Se trataba de una singularidad intrínseca o de un artefacto inducido por una mala elección de coordenadas? Esta es la pregunta que nos planteamos.
Anotemos de paso que la "geometría de Schwarzschild" es una hipersuperficie de cuatro dimensiones, lo que hace la cosa aún más difícil.
Kruskal se enfocó en este punto. Construyó un cambio de coordenadas que, entre otras cosas, proporciona una velocidad de la luz constante a lo largo de una trayectoria radial. De este modo, concentra el aspecto singular "en el centro del objeto", en una "singularidad central". Psicológicamente, se tiene la impresión de ganar. La solución se vuelve "casi regular en todas partes", expresión que los matemáticos usan para decir que la solución es regular, exenta de patología, salvo en un único punto.
- No vas a discutir, me vas a buscar problemas, por un simple punto...
Lamentablemente, esta formulación de Kruskal tiene un grave defecto: no restituye el espacio de la relatividad especial en el infinito. Técnicamente, no es lorentziana en el infinito, "asintóticamente lorentziana".
Es una cuestión esencial en física: ¿existen las singularidades? ¿La Naturaleza tolera singularidades? La respuesta se formula en términos de creencia (como para la existencia o no existencia del infinito, por ejemplo).
Hemos buscado una nueva interpretación de esta misma geometría de Schwarzschild, tratando de eliminar toda singularidad y lo hemos logrado. Nuestra respuesta es, por tanto:
- El carácter singular de la solución de Schwarzschild es simplemente inducido por una mala elección de coordenadas.
Técnicamente, todo se basa en el cambio de variable:
r = Rs + Log ch r
que se lee "r igual a Rs más logaritmo del coseno hiperbólico de la variable r". Simple para un científico, especialista o simple taupin. Para quien sabe manejar esta fórmula, la magnitud r ya no puede volverse menor que Rs, incluso cuando r toma todos los valores posibles, menos infinito y más infinito.
Consideren una superficie obtenida girando una parábola alrededor de una recta, así:
Esta figura es extraída del artículo. La superficie es infinita, en realidad, como la parábola meridional que la genera al girar alrededor del eje z, representado. Si insistimos en representarla con coordenadas (r, z, j), podemos esperar problemas cuando nos preguntemos "¿cómo es esta superficie para r < Rs?".
Se encontrará una respuesta... imaginaria, con raíces de cantidades negativas. Simplemente porque entonces estamos "fuera de la superficie".
Esta superficie, en matemáticas, se dice "no simplemente conexa", término pomposo que simplemente designa las superficies donde toda curva cerrada no puede ver su perímetro disminuir, al deslizarla sobre la superficie, hasta tomar el valor cero.
Es posible en una esfera, que es "simplemente conexa". Pero en esta superficie, se ve claramente que toda curva cerrada que "da una vuelta alrededor de este tipo de pozo central" no podrá ver su perímetro tender a cero, el límite siendo el perímetro del "círculo de garganta". Lo mismo ocurre con un toro, que también es "no simplemente conexo".
Hemos definido una superficie como esta partiendo de su métrica, lo cual ilustra muy bien el argumento. Manteniendo la coordenada r, esta superficie parece singular. Usando el cambio de variable dado anteriormente, ya no lo es. ¿A qué corresponde esta coordenada r? Simplemente "recorre" la parábola meridional como se indica en la figura, tomando el valor cero en el círculo de garganta. La mitad de la superficie corresponde a r positivo, la otra a r negativo. En el sistema de referencia de los puntos [r, j], ya no hay singularidad.
Hemos decidido llamar a este tipo de objeto un "puente toroidal", por analogía con el toro.
Pero se puede mostrar fácilmente, siempre partiendo de métricas, que se puede pasar a un objeto, una hipersuperficie 3D, que contiene un "puente hiper-toroidal". No hay entonces un círculo de garganta, sino una esfera de garganta. Así como para la superficie anterior, un círculo de garganta parecía conectar dos capas 2D, la esfera de garganta conecta entonces dos "medios espacios 3D". Cuando uno está en uno de estos medios espacios 3D y se sumerge en la esfera de garganta, emerge en el otro medio espacio.
Volviendo a la superficie 2D mostrada anteriormente. La figura siguiente muestra que al trazar "círculos que se creen concéntricos", se ve que su perímetro disminuye, pasa por un mínimo y luego vuelve a aumentar.
En 3D hay que imaginar una esfera que rodea completamente la esfera de garganta. Luego otra, dentro de esta (se debería decir "más allá" siguiendo una dirección dada, hacia esta esfera de garganta). Se imagina que la superficie de esta esfera puede ser más pequeña. Pero, cuando se alcanza la esfera de garganta, el área pasa por un mínimo y luego vuelve a aumentar... hasta el infinito, cuando se prolonga la operación.
Hemos construido las "métricas" de estas superficies 2D y 3D que contienen un "pasaje toroidal" y un "pasaje hiper-toroidal" y, en el segundo caso, nos impresionó la similitud con la métrica de Schwarzschild, donde operamos este cambio de coordenadas, haciendo aparecer su carácter "no simplemente conexo", "el interior" del objeto se convirtiendo simplemente "el más allá de su esfera de garganta".
Así fue posible eliminar toda singularidad.
En este punto, simplemente extendimos el modelo del agujero negro a un "agujero negro-fuente blanca". Pero, siempre para este "observador externo", el tiempo de traversa de este puente hiper-toroidal seguía siendo infinito. Parecíamos haber mejorado simplemente el modelo del agujero negro explicando hacia qué conducía.
Hemos dicho que la elección de las variables era, en una solución geométrica, completamente arbitraria. Pero lo que vale para el espacio también vale para el tiempo. Por lo tanto, buscamos un cambio de variable temporal inventado por Eddington en 1924:
Una vez más, lo mencionamos para el científico o simple taupin.
t es el antiguo "tiempo cósmico", la antigua "variable cronológica" presente en la solución inicial de Schwarzschild de 1917.
t' es este nuevo "tiempo de Eddington". Rs es el "radio de Schwarzschild (se debería entonces hablar del perímetro de Schwarzschild, dividido por 2p).
c es la velocidad de la luz (aquí, constante).
Lo que puede parecer extraño: se mezcla el tiempo y el espacio pero, en este asunto, todos tenemos derecho. La elección de la coordenada tiempo, de la coordenada de referencia cronológica (time-marker) es totalmente arbitraria. Simplemente se pide:
-
que la métrica sea asintóticamente lorentziana, es decir, que en el infinito, el espacio-tiempo se convierta en el espacio-tiempo de Minkowski, el de la relatividad especial. En nuestro caso, funciona (no en Kruskal).
-
que este nuevo tiempo t' se identifique...