Aquí, se ha "desengrasado" un poco la figura para hacerla más legible. Una superficie es un objeto 2D, aquí "inmerso" en un espacio 3D, euclidiano, o sea en R3. Arriba, podemos "verla". Resulta que esta superficie puede inmersarse en este espacio R3 "de manera isométrica". Es decir, si colocamos una cinta adhesiva sobre ella, esta se inscribe efectivamente sobre una geodésica que une dos puntos A y B de la superficie. Además, la longitud medida a lo largo de este arco geodésico también es correcta. Es isométrica, etimológicamente "misma longitud". En la parte inferior se encuentra un espacio de representación 2D, que da una representación que no es isométrica. La longitud del arco A'B' no es igual a la del arco AB. Fabrica el objeto siguiente, utilizando una hoja de papel, un lápiz y un par de tijeras:
Este dibujo no es isométrico. Primero, la curva indicada no es evidentemente una geodésica del plano. Segundo, la longitud del arco AB no es "la verdadera longitud", la que mediríamos sobre "la verdadera superficie", que "no está agujereada". Esta hoja de papel agujereada es solo una representación conveniente, nada más. De la misma manera que esta técnica de dibujar un trazo en un lado de la hoja y otro en el reverso, el conjunto de la curva solo aparece en transparencia.
En el dibujo siguiente se han representado las geodésicas de esta superficie, calculadas por ordenador (que aparece en el artículo).
Las partes punteadas de las curvas corresponden a las ramas que están "al otro lado" (como si miráramos la superficie "por arriba").
Ahora, una pregunta: ¿puedo construir una representación plana e isométrica de estas geodésicas? La respuesta es sí. Ya vimos que podíamos cambiar la variable r por la variable r. Entonces, las geodésicas pueden representarse perfectamente en un plano de "coordenadas polares" (r, j). Las geodésicas (aquí una geodésica no radial) tienen la apariencia siguiente:
Esta representación es isométrica. Sean tres puntos A, B, C pertenecientes a la superficie, situados en una misma geodésica. A', B' y C' son los puntos homólogos, en esta representación [r, j]. Los puntos A y B están situados en la misma media-cáscara y el arco geodésico que los une no atraviesa el cuello. Medida en este plano, a lo largo de la imagen de esta geodésica (que evidentemente no es una geodésica de este plano), la longitud del arco A'B' es igual a la del arco AB, medida en la superficie.
El arco BC atraviesa el cuello. Lo mismo ocurre.
Pero esta isometría no se aplica a todas las geodésicas de la superficie. Existe una, única en su género: el cuello, reducido aquí a un punto. Es la única geodésica de esta superficie que se cierra sobre sí misma.
Las geodésicas son nuestra única forma de comprender una superficie o, más generalmente, un espacio no plano, no euclidiano. Son referencias fiables (aunque tenemos visiones distorsionadas a través de nuestros sistemas de representación 2D o 3D (en perspectiva). Estas geodésicas sabemos que "existen", que son intrínsecas. Las de una esfera son, por ejemplo, círculos máximos. En el caso del espacio-tiempo, están pobladas por una infinidad de geodésicas espacio-temporales. Estas geodésicas existen intrínsecamente y, para comprender (etimológicamente: abrazar, rodear), buscamos, como ciegos, "palpar" estas geodésicas. Pero las líneas de coordenadas de tiempo y espacio no tienen ninguna realidad intrínseca, al igual que los dos conjuntos de meridianos y paralelos no forman parte integrante de una esfera. No están "incluidas". La geometría de Schwarzschild, solución de la ecuación de campo de Einstein, es una hipersuperficie 4D. Sobre ella, los teóricos han superpuesto familias de curvas "a t constante", "a r constante", etc.
Grabad en vuestra mente que estos gestos permanecen totalmente arbitrarios. Pero incluso los especialistas en cosmología teórica suelen olvidar con frecuencia este punto, que los matemáticos-geómetras deben recordarles de vez en cuando. Por lo tanto, era perfectamente legítimo cambiar de coordenadas espaciales y temporales.
En este punto, me diréis: pero entonces, ¿qué permite decir que un cierto conjunto de coordenadas es mejor que otro? ¿Dónde está lo razonable y lo irrazonable? Es una cuestión de gusto. Elegir coordenadas espaciales y temporales es colocar una visión física sobre un objeto matemático. En el caso de la Tierra, le hemos dado polos porque gira. El polo norte es simplemente el punto de la superficie "Tierra" cuya normal apunta hacia la estrella polar, un astro que permanece fijo en la bóveda estrellada.
En cuanto a isometría y no isometría, la cartografía ilustra los problemas que surgen de intentar representar una esfera en un plano. La proyección de Mercator (proyección de la esfera terrestre sobre un cilindro tangente a lo largo del ecuador) es muy agradable para las personas que viven cerca del ecuador. Por otro lado, el habitante de uno de los polos tiene una mala sorpresa: su área, puntual, se transforma en una línea...
Hay treinta y seis mil maneras de proyectar una esfera en un plano. Imaginemos ésta:
Imaginemos que fabricáramos mapas geográficos en este modelo y los vendiéramos. Éxito inmediato entre los habitantes de los dos polos: estas proyecciones son entonces, en esas regiones, casi isométricas. Muy cómodo para tener una idea de las distancias en esas esas zonas. Si la Tierra hubiera sido habitable en sus polos y relativamente inhóspita en otras partes, los mapas probablemente habrían sido creados de esta manera. Se notará que entonces el círculo frontera de la proyección plana ya no corresponde al ecuador, sino a un paralelo (aquí perteneciente al hemisferio norte). Cerca de esta región, el mapa estará muy lejos de la isometría. Además, en este mapa extraño, una parte del territorio tendrá que representarse con trazo continuo y otra con trazo discontinuo, ya que se encuentra más allá de ese paralelo donde el objeto, extrañamente, parece "doblarse". A menos que se proporcionen mapas en forma de discos, donde la continuación del terreno figure en la otra cara, en el reverso de la hoja.
Intentemos "pensar todo esto en 3D". Hemos representado a Lanturlu introduciendo su brazo izquierdo en la esfera del cuello y hemos separado los dos dibujos, lo que parece evocar la idea de que este segundo espacio 3D pueda estar "en otro lugar". Para ser más correcto, habría que superponer los dos dibujos en perspectiva, representando la mano (derecha) que emerge "en trazo discontinuo".
Lo he intentado, aunque no fue extremadamente fácil. También se podría haber utilizado dos colores diferentes, por ejemplo, rojo para lo que estaría en el primer versante 3D de nuestro espacio 3D no simplemente conexo y verde para lo que está en el otro versante. Un Lanturlu rojo vería entonces salir la mano roja, izquierda, que había introducido en la esfera del cuello en forma de una mano verde "derecha".
Lástima que Raymond Devos no se interese por las matemáticas. Aunque...
Evidentemente "dentro" de la esfera del cuello, no hay nada. Esta apariencia de interior, de contenido volumétrico, se debe solo a la elección de este espacio de representación 3D. De la misma manera, dentro del agujero hecho en la hoja de papel, no había papel tampoco. Era solo un accidente debido a la elección de este espacio de representación plano. Alguien que se empeñe en utilizar esta representación plana sin quitar el disco cortado del papel y que persista en...