A: Presentación en HTM\PQ4.htm Ahora intentemos (y estas figuras se extraen entonces del artículo) concebir, siempre en un espacio de representación 3D, un conjunto de cuatro pequeñas bolas que forman un tetraedro (objeto altamente orientable) que cae en una esfera de garganta en forma de esfera, siguiendo "geodésicas radiales".
Ellas "rebotan" en esta esfera de garganta (según esta imagen derivada de la elección de nuestro espacio de representación. En realidad, en la hipersuperficie 3D, las geodésicas son continuas).
Me acuerdo, cuando era más joven, a menudo se encontraban bolas cromadas al final de las rampas de escaleras. Si vive en un alojamiento donde se encuentra este tipo de objeto, podría hacer la experiencia, gracias a sus cuatro manos, lanzando pequeñas bolas de acero sobre ellas.
Después del rebote, las cuatro bolas formarán un tetraedro invertido:
Se va a agrandar el tetraedro para ver mejor esta inversión. En su configuración inicial se presenta así:
Se "orientan" sus caras. Por ejemplo, se le da un sentido de recorrido ADB, etc., de tal manera que al asimilar este "movimiento" al de un destornillador, la punta del destornillador esté hacia afuera (flechas). Así se orientan las cuatro caras. Comparando ahora este tetraedro con el formado por las bolas que "rebotaron" en la esfera de garganta:
La orientación de las caras ha sido invertida. Si mi dibujo hubiera sido más preciso, los dos objetos podrían haberse colocado a ambos lados de un espejo, uno siendo la imagen enantiomorfa del otro.
Para Schwarzschild, es lo mismo: los objetos reaparecen "al otro lado", y si pudieran "verse en transparencia", aparecerían enantiomorfos. Pero no se pueden ver "en transparencia". Para "ver" sería necesario que los fotones pudieran comunicar dos regiones "adyacentes" de estos dos "lados del espacio-tiempo", que son P-simétricos.
Por cierto, ¿qué pasa con las trayectorias "no radiales"? El cálculo de las geodésicas da trayectorias planas, que "rebotan" en la esfera de Schwarzschild. Ver dibujo siguiente.
Queda esta historia de la variable tiempo, brevemente mencionada más arriba. Como les dije, en cuanto a la elección de variables, tenemos todos los derechos. Esta elección sigue siendo completamente arbitraria, ya que el objeto, la hipersuperficie espacio-tiempo, es "invariante de coordenadas", existe independientemente de la elección que hagamos para las coordenadas que sirven para localizar los puntos que están sobre ella, que son "puntos-eventos", puntos de un objeto espacio-temporal, de una hipersuperficie 4D.
Pero entonces, ¿qué es el tiempo, qué es el espacio, si todo esto es tan arbitrario?
Hay un tiempo al que no se puede tocar, que es el único escalar intrínseco de la hipersuperficie: es el tiempo propio. El tiempo propio es la "longitud" en esta hipersuperficie espacio-temporal. Se supone que los objetos solo pueden moverse a lo largo de geodésicas (4D). En una geodésica se toma un par de puntos (A, B). La longitud Ds que separa estos dos puntos-eventos, dividida por c, una constante, en este caso la velocidad de la luz en una región lejos de la esfera de garganta, es el intervalo de tiempo propio Dt que separa estos dos "eventos", y esto es independiente del sistema de coordenadas espacio-temporales elegido. Esta cantidad Dt es la única que tiene un sentido físico intrínseco.
Imaginen que se desplazan sobre la Tierra, a lo largo de una geodésica (un círculo máximo), desde un punto A a un punto B. Si dicen:
- He ido de un punto de longitud jA y latitud qA a un punto de longitud jB y latitud qB
¿qué significarían las cantidades (jB - jA) y (qB - qA)? Serían dependientes de los puntos donde haya decidido situar sus polos, de su elección de coordenadas de referencia. Por otro lado, si dicen:
- He recorrido 2347 kilómetros sobre esta geodésica.
Esta medida tendrá sentido independientemente del sistema de coordenadas elegido.
Vimos con la esfera que se pueden instalar coordenadas que hacen aparecer una o varias singularidades. Un polo es un lugar donde la longitud j ya no está definida. También vimos que, mediante un simple cambio de coordenadas, se puede hacer desaparecer una "región indeseable de una superficie" (donde r < Rs) y donde se encontraría un elemento de longitud Ds puramente imaginario. De hecho, el hecho de que, en su formulación inicial, la métrica de Schwarzschild condujera a un elemento de longitud (tiempo propio), puramente imaginario, nos hizo suponer que estábamos entonces "fuera de la hipersuperficie". No hay un sistema de coordenadas absoluto. Pero se puede decidir optar por una elección de una coordenada espacial que al menos tenga el mérito de hacer desaparecer las singularidades, lo que hicimos. Tampoco hay un "tiempo cósmico absoluto". Con Midy, en nuestro último artículo, citado más arriba, mostramos que la "singularidad inicial", considerada como "el instante de creación de nuestro universo", se derivaba de una elección particular de la variable de referencia del tiempo y que otra elección, no solo conservaba todos los observables, comenzando por el corrimiento al rojo, sino que hacía desaparecer esta singularidad original, como el pecado del mismo nombre. La pregunta "¿qué había antes del Big Bang?" pierde entonces su sentido. Desconcertante, lo reconozco, pero la pregunta proviene de un paradigma espacio-temporal. Es equivalente a: "¿qué hay en el centro de un agujero negro?". Por lo tanto, es perfectamente legítimo cambiar de coordenada temporal, utilizando "el tiempo de Eddington" (el cambio de variable se indicó más arriba), en la medida en que este permite unir esta estructura geométrica local con el espacio-tiempo de Minkowski, el de un espacio relativista (en el sentido de la relatividad especial) plano, sin curvatura, vacío. Pero la idea es poder describir todo el espacio-tiempo con una sola métrica. El hilo conductor se encuentra nuevamente en la teoría de grupos y en el examen del "grupo de isometría" de la métrica de Schwarzschild.
El grupo de isometría contiene el conjunto de transformaciones geométricas que dejan invariante la métrica (por lo tanto, la hipersuperficie invariante). El grupo de isometría del objeto esférico es el grupo de rotaciones en el espacio más las simetrías (respecto a un plano o un eje que pasa por su centro, respecto a un punto que es este centro). Se llama a este grupo O3 (abreviatura de "grupo ortogonal de dimensión 3". Ver la introducción de Geometrical Physics B). Contiene todo eso. Pero si se le quitan las simetrías respecto a un eje, un plano, un punto, se convierte en SO3 (grupo "ortogonal especial de dimensión tres").
La geometría de Schwarzschild tiene simetrías. Hasta ahora se solía atribuir a esta simetría SO3 (rotaciones en el espacio). Pero en realidad tiene como grupo de isometría O3, por lo tanto contiene la P-simetría (simetría respecto a un punto). Recuerde el tetraedro del principio. Su simétrico respecto a un punto es enantiomorfo, P-simétrico del primero.
En la sección de grupos del sitio mostramos cómo el grupo "secreta el espacio" o más precisamente "secreta los objetos geométricos". Souriau lo llama "especies" del grupo. Así que no es la esfera la que genera el grupo SO3, sino lo contrario. Las esferas son las especies de este grupo. Especie en el sentido taxonómico del término (Larousse. Taxonomía: ciencia de la clasificación de las especies). Dijimos que a menudo a los físicos les ocurre hacer matemáticas sin saberlo y viceversa. La física relativ...