Pero existen superficies que son intrínsecamente singulares, que poseen singularidades que no se deben a una elección de coordenadas. Ejemplo a continuación: la singularidad cónica.
En bruto, tal como fue formulada en 1917 por Schwarzschild en coordenadas t , r , q , j (el tiempo, una distancia radial y dos ángulos, equivalentes a acimut y sitio: coordenadas "esféricas") la esfera de Schwarzschild es singular. Para un cierto valor Rs de la "coordenada radial" r (supuestamente medida desde un "centro geométrico") esta métrica nos juega las peores pasadas. Sobre esta esfera uno de los términos tiene un denominador nulo. En resumen, es singular sobre esta esfera. ¿Se trataba de una singularidad intrínseca o de un artefacto inducido por una mala elección de coordenadas? Es la pregunta que nos planteamos.
Notemos de paso que la "geometría de Schwarzschild" es una hipersuperficie de cuatro dimensiones, lo que hace la cosa aún más incómoda.
Kruskal se centró en este punto. Construyó un cambio de coordenadas que, entre otras cosas, proporciona un valor constante de la velocidad de la luz a lo largo de una trayectoria radial. Al hacerlo concentra el aspecto singular "en el centro del objeto", en una "singularidad central". Psicológicamente, se tiene la impresión de salir ganando. La solución se vuelve "regular casi por doquier", expresión que los matemáticos utilizan para decir que la solución es regular, exenta de patología, salvo en un único punto.
- No van a ponerse quisquillosos, a buscarme camorra, por un simple punto.....
Por desgracia esta formulación de Kruskal tiene un grave defecto: no devuelve el espacio de la relatividad restringida al infinito. Técnicamente, no es lorentziana en el infinito, "asintóticamente lorentziana".
Es una cuestión esencial en física: ¿existen las singularidades? ¿Tolera la Naturaleza singularidades? La respuesta se formula en términos de creencia (como para la existencia o inexistencia del infinito, por lo demás).
Hemos buscado una nueva interpretación de esta misma geometría de Schwarzschild intentando eliminar toda singularidad y lo hemos conseguido. Nuestra respuesta es pues:
- El carácter singular de la solución de Schwarzschild está simplemente inducido por una mala elección de coordenadas.
Técnicamente, todo reposa en el cambio de variable:
r = Rs + Log ch r
que se lee " r igual a Rs más logaritmo del coseno hiperbólico de la variable r ". Simple aparte para científico, especialista o simple novato. Para quien sabe manejar esta fórmula, la magnitud r ya no puede volverse inferior a Rs, incluso cuando r toma todos los valores posibles en menos infinito y más infinito.
Consideren una superficie que se obtenga haciendo girar una parábola alrededor de una recta, como esto:
Esta figura está extraída del artículo. La superficie es infinita, de hecho, como la parábola-meridiana que la engendra al girar alrededor del eje z, figurado. Si se empeña uno absolutamente en representársela con coordenadas (r,z,j) puede uno esperarse problemas cuando se pregunte "¿cómo es esta superficie para r < Rs?"
Se encontrará una respuesta .. imaginaria, con raíces de cantidades negativas. Simplemente porque entonces se está "fuera de la superficie".
Esta superficie, en matemáticas, se dice "no simplemente conexa", término bárbaro que designa simplemente las superficies donde toda curva cerrada no puede ver su perímetro decrecer, haciendo deslizar esta por la superficie, hasta tomar el valor cero.
Es posible sobre una esfera, que es "simplemente conexa". Pero sobre esa superficie se ve bien que toda curva cerrada que "da una vuelta alrededor de esta especie de pozo central" no podrá ver su perímetro tender hacia cero, siendo el límite el perímetro del "círculo de garganta". Misma cosa para un toro, que es también "no simplemente conexo".
Hemos definido tal superficie partiendo de su métrica, lo que ilustra muy bien el propósito. Manteniendo la coordenada r, esta superficie parece singular. Utilizando el cambio de variable dado arriba, ya no lo es. ¿A qué corresponde esta coordenada r? Simplemente "corre" a lo largo de la parábola meridiana como se indica en la figura, toma el valor cero sobre el círculo de garganta. La mitad de la superficie corresponde a r positivo, la otra a r negativo. En el sistema de referencia de los puntos [r , j ] ya no hay singularidad.
Hemos decidido llamar a este tipo de objeto un "puente tórico", por analogía con el toro.
Pero se muestra fácilmente, siempre partiendo de métricas, que se puede pasar a un objeto, una hipersuperficie 3d, que comporta un "puente hipertórico". Ya no hay entonces un círculo de garganta, sino una esfera de garganta. Del mismo modo que para la superficie de arriba, un círculo de garganta parecía poner en comunicación dos napas 2d, la esfera de garganta pone entonces en comunicación dos "semiespacios 3d". Cuando se está en uno de estos semiespacios 3d y se sumerge en la esfera de garganta, se emerge en el otro semiespacio.
Volvamos a la superficie 2d mostrada más arriba. El dibujo siguiente muestra que trazando "círculos que se cree concéntricos" se ve su perímetro disminuir, pasar por un mínimo, y luego crecer de nuevo.
En 3d hay que imaginar una esfera que rodee completamente la esfera de garganta. Luego otra, en el interior de esta (debería decirse "más allá" siguiendo una dirección dada, hacia esta esfera de garganta). Se imagina que la superficie de esta esfera pueda ser más pequeña. Pero, cuando se alcanza la esfera de garganta, el área pasa por un mínimo, y luego se vuelve a crecer... hasta el infinito, cuando se prolonga la operación.
Hemos construido las "métricas" de estas superficies 2d y 3d que comportan un "paso tórico" y un "paso hipertórico" y, en el segundo caso, nos quedamos impresionados por la semejanza con la métrica de Schwarzchild, donde hemos operado pues este cambio de coordenadas, haciendo aparecer su carácter "no simplemente conexo", "el interior" del objeto volviéndose simplemente "el más allá de su esfera de garganta".
Así ha sido posible eliminar toda singularidad.
En esta etapa hemos simplemente extendido el modelo del agujero negro a un tándem "agujero negro-fuente blanca". Pero, siempre para este "observador exterior", el tiempo de travesía de este puente hipertórico era siempre infinito. Parecíamos haber simplemente mejorado el modelo del agujero negro explicando en qué desembocaba.
Hemos dicho que la elección de las variables era, en una solución geométrica, totalmente arbitraria. Pero lo que vale para el espacio es también válido para el tiempo. Hemos ido pues a buscar un cambio de variable temporal inventado por Eddington en 1924:
Ahí también, lo mencionamos para el científico o simple novato.
t es el antiguo "tiempo cósmico", la antigua "variable cronológica" presente en la solución inicial de Schwarzschild, de 1917.
t' es este nuevo "tiempo de Eddington". Rs es el "radio de Schwarzschild (debería entonces hablarse de perímetro de Schwarzschild, dividido por 2p ).
c es la velocidad de la luz (aquí, constante).
Cosa que puede parecer extraña: se mezcla el tiempo y el espacio pero, en la materia, se tienen todos los derechos. La elección de la coordenada tiempo, de la coordenada de referencia cronológica (time-marker) es totalmente arbitraria. Se pide simplemente:
-
a la métrica ser asintóticamente Lorentziana, es decir que en el infinito, el espacio tiempo se vuelva el espacio tiempo de Minkowski, el de la relatividad restringida. En nuestro caso, funciona (no en Kruskal).
-
a este nuevo tiempo t' identificarse, siempre en el infinito, con el "tiempo propio de un observador supuesto inmóvil". Es también el caso (no en Kruskal)
Al hacerlo el tiempo de caída libre de una partícula-testigo, inmóvil en el infinito y cayendo hacia la esfera de Schwarzschild, se vuelve infinito, respecto al tiempo vivido por "el observador exterior", que está lejos e inmóvil.
La partícula, por el contrario, emergería de este "aven" en un tiempo infinito. Como en el agujero negro se puede pues entrar en esta especie de aven 3d, pero no salir, sino en un tiempo infinito.
El otro lado es una "resurgencia". Pero, con tal elección del tiempo (t') la partícula emerge de esta resurgencia en un tiempo infinito, mientras que puede penetrar en ella en un tiempo finito. Algo se atascaba en alguna parte. La solución consistió en efectuar, lo que se tiene perfectamente el derecho de hacer, una especie de doble cambio de variable. Para el trozo de espacio tiempo que se supone que es el nuestro:
En "el universo gemelo":
El mecanismo cósmico funciona entonces perfectamente.
-
Sin singularidad.
-
Se puede entrar en el "aven" pero no salir (agujero negro)
-
Se puede salir de la resurgencia, pero no penetrar en ella (fuente blanca).
Bien, me dirán, se progresa....
Sí y no. El tiempo de tránsito de la materia en este paso hipertórico es de algunas decenas de milésimas de segundo, y este Moloc es capaz de tragarse cualquier cosa, diez masas solares, por ejemplo, en menos tiempo del que le hace falta a una bala para atravesar una carta de jugar.
La conclusión es que a través de esta reinterpretación más racional de la solución geométrica los agujeros negros no podrían existir. Son ... ficciones matemáticas. Solo podían existir en virtud de esta "congelación del tiempo". Ahora bien con este "tiempo de Eddington" que satisface todas las exigencias de la física, el tiempo de tránsito se vuelve finito.
Conclusión: esta geometría de Schwarzschild no sería, según nosotros, más que una imagen instantánea de un proceso inestacionario de transferencia hiperespacial. Es un poco como si se les mostrara la foto de un yunque que alguien hubiera lanzado al aire y ustedes concluyeran que los yunques pueden flotar en el aire.La solución de Schwarzschild es igualmente solución de una ecuación que implica que el universo sea perfectamente vacío, que la densidad de energía materia sea nula en todo punto. Es entonces un poco como si se les mostrara la foto de un campo de fútbol, tomada cuando los jugadores se han ido a descansar durante el descanso del medio tiempo y ustedes concluyeran que el fútbol se juega sobre un campo.. vacío.
Pero entonces, ¿qué pasaría?
Hemos mostrado que durante el paso de la esfera de garganta la coordenada tiempo se invertía. Si se llama t' al tiempo (de Eddington) correspondiente a nuestra "vertiente de espacio-tiempo" y t'* al "marcador de tiempo" del universo gemelo, se tiene:
t'* = - t'
Notemos que Andrei Sakharov fue el primero en sugerir en 1967 que se crearan en el momento del "Big Bang" dos universos gemelos que tenían tiempos opuestos.
Quedaba por saber qué significaba el sentido de esta "inversión del tiempo". ¿Era decir que cuando se sumergía en el universo gemelo se rejuvenecía? Hemos mostrado que no. Se "lleva el propio tiempo propio" y si se resurgiera un poco más lejos por una estructura simétrica, no se emergería más joven que cuando se entró en este universo gemelo. Imposible "matar al propio padre" como en el tema del "Viajero imprudente", de Barjavel.
Los grupos, aún, nos han permitido elucidar el sentido "ontológico" de esta inversión de la coordenada tiempo. Cuando una partícula se sumerge en el universo gemelo, su acción gravitacional se hace siempre sentir, pero su contribución al campo gravitacional se vuelve entonces negativa. Su "masa gravífica" se invierte.
De paso, esto justifica totalmente el modelo desarrollado en el sitio y en la obra "On a perdu la moitié de l'univers" (Albin Michel). Las masas que se pasean en el universo gemelo se comportan respecto a las masas presentes en el nuestro como masas repulsivas. La dinámica completa es:
-
En nuestro universo las masas se atraen según Newton
-
En el gemelo las masas se atraen según Newton
-
Cuando masas situadas en dos porciones "adyacentes" del espacio tiempo interactúan, se repelen.
Es una simple consecuencia de esta inversión de la variable temporal (pero no del tiempo propio).
Los grupos muestran también que la dualidad materia antimateria existe en los dos universos, como conjeturado por Andrei Sakharov.
Cuando una partícula de materia logra pasar al universo gemelo (se verá más lejos cómo) sigue siendo materia, pero "CPT simétrica". Es el sentido del famoso "teorema CPT" de la física (jamás demostrado. Lo que Souriau llama un "teorema de físico"). Clásicamente los físicos dicen "la CPT simétrica de la materia es idéntica a la materia". Por CPT simetría, entiéndase:
-
La partícula, en este nuevo referencial, camina a "contratiempo": T-simetría.
-
Es enantiomorfa, invertida derecha-izquierda, "en espejo": P-simetría.
-
Todas sus "cargas" están invertidas, incluida su carga eléctrica, si posee una. Es la C-simetría.
Para nosotros, la CPT simétrica de una partícula es una partícula del gemelo (o pasada al gemelo). Es una partícula gemelar. Como hay T-simetría, su masa está automáticamente invertida (resultado inicialmente obtenido por J.M.Souriau en 1974).
La C-simétrica de una partícula es su antipartícula.
Feynman había encontrado que la PT-simétrica de una partícula se comportaba como una antipartícula. Exacto, pero se trata de .. la antimateria del gemelo, de masa negativa (puesto que hay también T-simetría). Todo esto emerge de historias de grupos Este trabajo hace el vínculo con todo lo que había sido publicado hasta aquí (en el sitio, ver Geometrical Physics B en el apartado "geometrización de la antimateria"). Se puede ilustrar de manera hablada este asunto de inversión del espacio. En el artículo, se insiste bastante en la noción de espacio de representación. Es el espacio en el que nos representamos mentalmente los objetos geométricos. Hemos utilizado más arriba una imagen donde se veía a Lanturlu enfilar su mano en esta esfera de garganta, la cual parecía emerger en otro universo 3d. Por comodidades de dibujo se han separado las dos figuras. Pero hay una cosa que sin duda no habrán notado de entrada: Lanturlu enfila en esta esfera una mano izquierda y es una mano derecha la que emerge. Esto no había sido hecho por casualidad.
¿Dónde está ese segundo universo?
Está imbricado en el nuestro, lo que es difícil de comprender. Pero esto será más simple volviendo a la superficie 2d, al "flatland".