Aquí,
hemos "desengrasado" un poco la figura para hacerla más legible. Una
superficie es un objeto 2d, aquí "sumergido" en un espacio 3d, euclidiano,
en otras palabras, en R3. Arriba, podemos "verla". Resulta
que esta superficie es sumergible en este espacio R3 "de manera isométrica".
Es decir, que si pegamos encima una cinta de celo, esta se inscribe
efectivamente sobre una geodésica que une dos puntos de la superficie A y B.
Además, la longitud medida a lo largo de este arco geodésico también es correcta.
Es iso-métrico, etimológicamente "misma longitud". Abajo se encuentra
un espacio de representación 2d, que da una representación que no es isométrica.
La longitud del arco A'B' no es igual a la del arco AB. Fabrique el objeto
siguiente, con ayuda de una hoja de papel, un lápiz y un par de tijeras
:
Este dibujo no es isométrico . Primo la curva indicada no es
evidentemente una geodésica del plano. Secundo la longitud del arco AB no es
"la verdadera longitud", la que se mediría sobre "la verdadera
superficie", que "no está agujereada". Esta hoja de papel agujereada
no es más que una representación cómoda, sin más. Lo mismo que esta técnica
que consiste en dibujar un trazo sobre el recto de la hoja y el otro sobre su verso,
el conjunto de la curva no apareciendo más que en transparencia.
En el dibujo siguiente se han figurado las geodésicas de esta superficie, calculadas
por ordenador (que figura en el artículo).
Las partes punteadas de las curvas corresponden a las ramas que están "del
otro lado" (como si miráramos la superficie "por encima").
Ahora, una pregunta: ¿puedo construir una representación plana e isométrica
de estas geodésicas? La respuesta es sí. Hemos visto que podíamos cambiar
la variable r por la variable r. Entonces las geodésicas pueden perfectamente ser
figuradas en un plano de "coordenadas polares" ( r , j
). Las geodésicas (aquí una geodésica no radial) tienen el aspecto siguiente
:
Esta representación es isométrica. Sean tres puntos A , B , C pertenecientes
a la superficie, situados sobre una misma geodésica. A' , B' y C' son los puntos
homólogos, en esta representación [ r , j ].
Los puntos A y B están situados sobre la misma semirrama y el arco geodésico que
los une no franquea el círculo de garganta. Medida en este plano, a lo largo
de la imagen de esta geodésica (que evidentemente no es una geodésica de este
plano), la longitud del arco A'B' es igual a la del arco AB, medida en
la superficie.
El arco BC
franquea la esfera de garganta. Lo mismo.
Pero esta isometría no se aplica a todas las geodésicas de la superficie.
Existe una, única en su género: el círculo de garganta, reducido aquí a un
punto. Es la única geodésica de esta superficie que se cierra sobre sí misma.
Las geodésicas son nuestra única forma de comprender una superficie o, más generalmente,
un espacio no plano, no euclidiano. Son referencias fiables (aunque tengamos
de ellas una visión distorsionada a través de nuestros sistemas de representación 2d o
3d (en perspectiva). Estas geodésicas, sabemos que "existen",
que son intrínsecas. Las de una esfera son, por ejemplo, grandes círculos.
Tratándose de espacio-tiempo, estos están poblados de una infinidad de geodésicas
espacio-temporales. Estas geodésicas existen intrínsecamente y, para comprender
(etimológicamente: abarcar, tomar en brazos) buscamos, como ciegos,
"palpar" estas geodésicas. Pero las líneas de coordenadas
de tiempo y de espacio no tienen ninguna realidad intrínseca, del mismo modo que los dos
conjuntos meridianos y paralelos no forman parte integrante de una esfera.
No están "entregados con ella". La geometría de Schwarzschild, solución
de la ecuación de campo de Einstein, es una hipersuperficie 4d. Sobre ella los teóricos
han aplicado familias de curvas "a t constante", "a r constante",
etc.
Grábese en la cabeza que estos gestos siguen siendo totalmente arbitrarios. Pero
incluso los especialistas de cosmología teórica pierden a menudo conciencia de
este punto, que deben recordarles de vez en cuando los matemáticos-geómetras.
Por lo tanto era perfectamente lícito cambiar de coordenadas de espacio y de tiempo.
Llegados a este punto, me dirá: pero entonces, ¿qué permite decir si tal
elección de coordenadas es mejor que tal otra? ¿Dónde se encuentran lo razonable
y lo irrazonable? Es una cuestión de gusto. Elegir coordenadas de espacio
y de tiempo es aplicar una visión física sobre un objeto matemático. En
el caso de la Tierra, le hemos dado polos porque gira. El
polo norte es simplemente el punto de la superficie "Tierra" cuya normal
apunta hacia la estrella polar, astro que permanece fijo en la bóveda estelar.
A propósito de isometría y de no isometría, la cartografía ilustra los problemas
que resultan de los intentos de representar una esfera sobre un plano. La proyección
de Mercator (proyección de la esfera terrestre sobre un cilindro tangente a lo largo
del ecuador) es muy agradable para las gentes que habitan cerca del ecuador.
En cambio el habitante de uno de los polos tiene una mala sorpresa: su dominio, puntual,
se transforma en una recta...
Hay treinta y seis mil formas de proyectar una esfera sobre un plano. Imaginemos
esta:
Imaginemos que fabricamos mapas geográficos según este modelo y los
vendemos. Éxito inmediato entre los habitantes de los dos polos: estas proyecciones
son entonces, en esas regiones, casi isométricas. Muy cómodo para hacerse
una idea de las distancias en esos rincones. Si la Tierra hubiera sido habitable en
sus polos y relativamente inhóspita en el resto, los mapas sin duda habrían
sido creados de esta forma. Se observará que entonces el círculo frontera
de la proyección plana ya no corresponde al ecuador, sino a un paralelo
(aquí perteneciente al hemisferio norte). En las cercanías de esta región, el mapa
estará muy lejos de la isometría. Además, en este mapa extraño, una parte
del territorio deberá ser figurada con trazo lleno y la otra con puntos, puesto
que se sitúa más allá de ese paralelo donde el objeto, extrañamente, parece "plegarse".
A menos de proporcionar mapas que sean en forma de discos
y donde la continuación del terreno figuraría en la otra cara, en el verso de la hoja.
Intentemos "pensar todo esto en 3d". Hemos representado a Lanturlu
sumergiendo su brazo izquierdo en la esfera de garganta y hemos separado
los dos dibujos, lo que parece evocar el hecho de que este segundo espacio 3d pueda
estar "en otra parte". Para ser más correcto, habría sido necesario superponer
los dos dibujos en perspectiva representando la mano (derecha) que emerge
"con puntos".
He intentado hacerlo, aunque no ha sido extremadamente fácil. Se habría
podido también utilizar dos colores diferentes, por ejemplo rojo para lo que estaría
en la primera vertiente 3d de nuestro espacio 3d no simplemente conexo y verde
para lo que está en la otra vertiente. Un Lanturlu rojo vería entonces por ejemplo
sobresalir la mano roja, izquierda, que ha sumergido
en la esfera de garganta bajo la forma de una mano verde "derecha".
Lástima que Raymond Devos no se interese por las matemáticas. Aunque...
Evidentemente "dentro" de la esfera de garganta, no hay nada. Esta apariencia
de interior, de contenido volumétrico, se debe únicamente a la elección de este espacio de representación
3d. Del mismo modo que en el interior del agujero practicado en la hoja de papel no
había tampoco papel. No era más que un accidente ligado a la elección de este
espacio de representación plano. Alguien que se empeñara en utilizar esta
representación plana sin quitar el disco recortado en el papel y que persistiera
en preguntar "¿qué hay dentro?" estaría "despistado"
(o más bien... dentro). Ese disco "no existe".
Volvamos al 3d. Cuando Lanturlu sumerge su brazo en la esfera de garganta, esta
tampoco tiene interior. Esta apariencia de interior se debe únicamente a esta elección
de espacio de representación. Se podría considerar que Lanturlu y su mano emergente
han sido dibujados sobre una hoja de papel que posee tres dimensiones, donde
se habría quitado... una esfera (equivalente 3d del disco de la hoja de papel).
Matemáticamente, un disco es una "bola b2" y una "esfera
volumen" una "bola b3". Se llama "bola" a una célula
contractil (véase el Topologicon, en el "CD-Lanturlu") es decir
un objeto que puede contraerse según un punto recorriéndose a sí mismo. Estos
ejemplos 2d y 3d están ahí para ilustrar el plan de ataque seguido en el artículo
: la esfera de Schwarzschild no tiene "interior", ni "centro".
Cuando se la franquea (paso hipertórico) uno se encuentra en "otra
vertiente de espacio-tiempo".
¿Cuál es la justificación de esta nueva interpretación de la "geometría
de Schwarzschild"?
Respuesta: la eliminación de las singularidades. Kruskal, con su "prolongación
analítica", hizo lo imposible para penetrar a toda costa "en"
esa dichosa esfera. No logró más que compactar la singularidad (papel inicialmente
desempeñado por la esfera de Schwarzschild) en un punto situado "en el centro de este
objeto". Nos contentamos con este truco. Pero pensamos
que sin singularidad, es sin embargo mejor.
La Naturaleza protesta, cuando se la mira bajo el mal ángulo, secretando
singularidades. Así es como vemos las cosas. Es un punto de vista a priori sobre lo "real".
Pensamos que las singularidades no existen en la naturaleza. Pensamos también que el
infinito no existe tampoco. Pero,
como diría Kipling, esta es otra historia. He tenido con Souriau discusiones
agitadas sobre esta cuestión hace un año.
-
¿Qué me prueba que el infinito existe? ....
-
Pero, sin infinito, ¡ya no hay matemáticas! ....
-
El infinito, ¿ya lo has encontrado? ¿Ya lo has visto, tenido en mano?
-
Es una .... comodidad.
-
Se engendran números infinitamente grandes suponiendo que se pueda añadir
1 a un número, indefinidamente. Así pues se utiliza un infinito secuencial para
engendrar un infinito numérico. Se muerde la cola, tu cosa. -
Bueno, digamos que es una comodidad. El hombre ha inventado dos cosas importantes
a lo largo de su historia: el infinito y las letrinas....
Tampoco creo que lo infinitamente pequeño exista, ni físicamente, ni
matemáticamente. Pero eso será objeto de otros escritos. Dejemos por el
momento de lado estas cuestiones. Simple digresión.
De paso, véase "Scale Invariant Cosmology" de P.Midy y J.P.Petit,
International Journal of Modern Physics D, junio de 1999, páginas 271-280 donde
hemos hecho desaparecer "la singularidad inicial del universo". Es
una reformulación más construida matemáticamente de la idea que había publicado
en el 88-89 en Modern Physics Letters A (escritos en el sitio).
Espero que cuando lea estas líneas hayamos tenido tiempo, con la ayuda
de los señores Lecot o Boland, de incluir este nuevo artículo en el sitio. Pero de
todos modos, incluso si este trabajo se encontrara reproducido allí, no se aventure
en él. Como había inscrito creo que Arquímedes a la entrada de un santuario-ciencia
"nadie entre aquí que no sea geómetra". Son tensores y compañía,
dominio en el que Midy se deleita, pero es también tan indigesto como el pudin
inglés.
Se ve pues, a través de este discurso, que la visión física que tenemos de los
fenómenos surge de la forma en que hemos decidido representárnoslos.
Hemos, modificando las coordenadas espaciales, cambiado de "topología
local", palabra que merecería ser precisada matemáticamente, dice Souriau.
En realidad, esta frase es un dulce eufemismo: simplemente se puso a gritar
cuando pronuncié esta palabra. Su gato Pioum y yo tuvimos todas las penas
del mundo para calmarlo. Souriau es el Tornasol de las matemáticas. Practica
gustosamente la indignación matemática llevada a su colmo. Pero estos accesos de indignación
no deben confundirse con la cólera en el sentido trivial del término. Yo sería más bien
"Monsieur Jourdain", en este dominio. Los físicos hacen a menudo
matemáticas sin saberlo (y viceversa por lo demás).
Admitiendo, provisionalmente, el uso de palabras "no precisadas", todo
sucede como si se hubiera considerado hasta ahora que la "topología local"
de la geometría de Schwarzschild era "hipersférica (que la esfera de
Schwarzschild "contiene" una "bola b3"). La hemos
vuelto "hipertórica". Es la razón por la cual he propuesto
la denominación (no controlada) de "geometrías hipertóricas".
Se ha evocado más arriba la inversión del espacio. Eso se negocia con los grupos.
¿Puede comprenderse esto de otra manera? Hemos visto que Lanturlu, sumergiendo su brazo
izquierdo en la esfera de garganta, veía sobresalir ... una mano derecha. En efecto,
cada átomo de su mano ha seguido una geodésica "radial", dirigida
perpendicularmente a la superficie.
Observemos de paso, habíamos olvidado decirlo, que este modo de representación
no es isométrico. Como para el asunto del papel agujereado, hace un momento. Si
se midiera la longitud recorrida por un átomo-testigo perteneciente a la mano
de Lanturlu en los dos semiespacios, esto no coincidiría con la verdadera
longitud que puede calcularse con un cordel.
Retomemos un dibujo dado más arriba.
Aquí, hemos figurado un arco geodésico AB que franquea el círculo de garganta,
y su imagen en el espacio de representación plana, abajo. El carácter de
representación no isométrica aparece entonces aún más claramente. Las longitudes
de los arcos AB y A'B' son muy diferentes.
Es evidentemente bastante difícil imaginar que se pueda enhebrar un cordel
en la esfera de garganta de un paso hipertórico. Tensionando el cordel, se
obtendría por lo demás una geodésica (línea de camino más corto). Por lo demás,
si se midiera la longitud de este cordel en el espacio de representación
3d (Lanturlu que enhebra su brazo) y uno se aventurara a medir la longitud
de dicho cordel, en ese espacio, se encontraría una longitud A'B' más corta.
La verdadera longitud, medida en la hipersuperficie 3d, sería más larga, como
figurado arriba en 2d. La representación 3d donde figura Lanturlu es pues no-isométrica,
como la representación plana de la figura de arriba.
En el fondo, estos conceptos tan sutiles, surgidos de la teoría de los grupos, terminan
por volverse menos herméticos, gracias a algunos dibujos, a condición de "ver
en el espacio". Lo que estoy intentando enseñarle es
a ver en un espacio 3d curvo.
Volvamos a este asunto de enantiomorfía, de inversión de los objetos cuando
franquean la estructura de garganta, en 2d o en 3d. Consideremos, en 2d, geodésicas "radiales". La palabra se ha vuelto impropia puesto que un rayo
es en principio una recta que parte de un punto. Se trata en realidad de geodésicas
a j constante. Véase una figura, más arriba, donde esta coordenada azimutal ha
sido indicada. Pero, para mayor concisión seguiremos utilizando la palabra "radial"
empleando comillas. Observe que esta palabra "radial" es aún
una consecuencia de la elección de un espacio de representación. Imagine que una letra
R (la cual no es idéntica a su imagen en espejo, a su imagen enantiomorfa)
resbala, como una calcomanía mal pegada, a lo largo de nuestro paso tórico,
cada uno de sus puntos avanzando según una geodésica. Esta letra va a encontrarse
"del otro lado". Lo interesante es mirar el resultado
de la operación en la proyección plana, en el espacio de representación.
Se ha representado una especie de cinta, cuyos bordes están constituidos por dos
geodésicas. ¿Qué se constata? En el espacio de representación, la letra
R se ha invertido, se ha vuelto una "ia" rusa, una R al revés, enantiomorfa.
Empezamos a comprender ahora por qué la mano de Lanturlu, al sobresalir
en nuestro "espacio de representación 3d" parece haberse invertido,
se ha vuelto enantiomorfa.