Agujero negro cuestionable y universo gemelo

Cosmología Agujero negro problemático.

Jean-Pierre Petit Observatorio de Marsella, Francia Pierre Midy CRI Orsay, Francia Para correspondencia:

Resumen

Partiendo del modelo denominado agujero negro, considerado como una interpretación física de la geometría de Schwarzschild, reexaminamos el problema del destino de una estrella de neutrones cuando supera su límite de estabilidad. Presentamos primero una nueva herramienta geométrica: la geometría hipertórica, a través de ejemplos en 2D y 3D (sección 2). Mostramos que las patologías asociadas a las métricas, que surgen de su elemento de línea expresado en un sistema de coordenadas dado, pueden corregirse mediante una elección más adecuada formulada en términos de "topología local". Por ejemplo, demostramos que en los dos ejemplos dados, la superficie plana 2D y la hipersuperficie 3D cuyos grupos de isometría son O2 y O3, no son simplemente conexas.

Extendemos el método a la geometría de Schwarzschild. Mostramos que las singularidades pueden eliminarse completamente considerando una hipersuperficie espacio-temporal no simplemente conexa. Le damos a la geometría de Schwarzschild una significación física diferente: un puente que conecta dos universos, el nuestro y un universo gemelo.

Demostramos que el "congelamiento del tiempo", pilar del modelo de agujero negro, es simplemente una consecuencia de una elección arbitraria de un marcador de tiempo particular. Al utilizar otro marcador, inspirado en los trabajos de Eddington (1924), derivamos un escenario completamente distinto, que implica un arrastre radial (similar al arrastre azimutal de la métrica de Kerr). Mostramos que la solución de Schwarzschild puede interpretarse como un "puente espacial", que conecta dos universos, dos espacios-tiempos, actuando como un puente de sentido único. Mostramos que el tiempo de tránsito de una partícula de prueba es finito y corto, lo que inmediatamente hace problemático el modelo clásico de agujero negro.

Al extender el grupo de isometría de la métrica de Schwarzschild, mostramos que los dos universos son enantiomorfos (simétricos por P) y poseen marcadores de tiempo opuestos (t* = - t). Al utilizar una herramienta de teoría de grupos: la acción coadunta de un grupo sobre su espacio de momentos, damos una significación física a esta "inversión del tiempo", a través de la superficie de garganta esférica, la esfera de Schwarzschild: cuando una partícula de masa positiva atraviesa el puente espacial, su contribución al campo gravitatorio se invierte: m* = -m (como mostró J.M. Souriau en 1974, la inversión del marcador de tiempo es equivalente a la inversión de la masa y la energía).

Dado que la cuestión sobre el destino de una estrella de neutrones desestabilizada sigue siendo un problema abierto, presentamos un proyecto de modelo alternativo: la transferencia hiperspacial de parte de su materia a través de un puente espacial, esta materia fluyendo hacia el universo gemelo a una velocidad relativista.

Por cierto, recordamos algunas deficiencias bien conocidas del modelo de Kruskal, particularmente el hecho de que no es asintóticamente lorentziano en el infinito.

Sugerimos considerar la geometría de Schwarzschild como una hipersuperficie inmersa en un espacio de diez dimensiones. Al vincular este trabajo con investigaciones anteriores basadas en la teoría de grupos, construimos un modelo simétrico CPT. La dualidad materia-antimateria se conserva en ambos pliegues. Cuando la materia es transferida hacia el universo gemelo, experimenta una simetría CPT y su masa (su contribución al campo gravitatorio) se invierte. Pero sigue siendo materia. De manera similar, la antimateria que fluye por el puente espacial permanece antimateria, con masa opuesta, porque la inversión del marcador de tiempo, como mostró Souriau, implica la inversión de la masa.

1. El modelo de agujero negro.

Las estrellas de neutrones no pueden superar una masa crítica, cercana a 2,5 masas solares. Para masas mayores, su materia ya no puede soportar la enorme presión interna debida a la fuerza gravitatoria. Entonces se produce un colapso gravitacional. Durante mucho tiempo, los teóricos intentaron describir el destino de un objeto así. Al examinar la métrica de Schwarzschild, expresada a continuación en términos de

coordenadas, donde Rs es el llamado radio de Schwarzschild (1),

se imaginaba que esta solución de la ecuación de Einstein:

(2) S = 0

con un segundo miembro nulo podría resolver el problema. En efecto, si t se elige como "tiempo cósmico de un observador externo", el tiempo de caída libre de una partícula de prueba siguiendo una "geodésica radial", desde un punto alejado de la esfera de Schwarzschild r = Rs, se encuentra infinito, mientras que este tiempo de caída libre Ds, expresado en tiempo propio, permanece finito. Entonces la "descripción física" es la siguiente:

• El objeto (una estrella de neutrones que ha superado su límite de estabilidad) sufre un colapso gravitacional. Su masa cae rápidamente hacia "el centro geométrico del sistema", descrito como una "singularidad central". Este fenómeno se extiende durante una duración finita Ds, en términos de tiempo propio s.

• Pero, para un "observador externo", situado a cierta distancia del objeto, este proceso parece "congelado en el tiempo". Además, la esfera de Schwarzschild es una superficie de corrimiento al rojo infinito (debido a la nulidad del término gtt de la métrica en r = Rs).

Este es el modelo de un agujero negro esféricamente simétrico.

r se identifica con una "distancia radial", lo que significa que se puede pensar en "lo que hay dentro de la esfera de Schwarzschild". En términos generales, esto significa que se supone que la "topología local" es "esférica": dentro de la esfera de Schwarzschild, se supone que existe una "pequeña esfera", y así sucesivamente, hasta el "centro geométrico" del objeto.

Más tarde, el modelo se extendió a la geometría axialmente simétrica (métrica de Kerr). Pero esta extensión no aporta ninguna modificación conceptual fundamental. Por eso, en lo sucesivo nos concentraremos en los sistemas esféricamente simétricos (creemos que este estudio podrá extenderse posteriormente a la métrica de Kerr).

Es un poco extraño que un objeto tan denso pueda describirse mediante una solución de las ecuaciones (2), que a priori se refiere a una porción vacía del Universo donde no hay materia-energía.

Si se mantiene la descripción (una elección particular de coordenadas), surgen muchas dificultades. Por ejemplo, cuando r tiende a Rs, el término grr tiende al infinito.

La firma de la métrica, expresada con esta elección particular de coordenadas, es: ( + - - - ) para r > Rs ( - + - - ) para r < Rs

Cuando una partícula de prueba penetra dentro de la esfera de Schwarzschild, su masa se vuelve imaginaria y su velocidad mayor que la de la luz: se convierte en una taquión.

Al considerar el cambio de firma, algunas personas dijeron:

• No hay problema: dentro de la esfera de Schwarzschild, r simplemente se convierte en el tiempo y t en la distancia radial.

Un cosmólogo francés, Jean Heidmann, suele decir: "Cuando piensas en agujeros negros, debes abandonar todo sentido común".

Por cierto, hay muy pocos candidatos a agujeros negros, lo cual es el punto más preocupante. En efecto, las supernovas, las enanas blancas y las estrellas de neutrones habían sido predichas antes de ser observadas. Por ejemplo, Fritz Zwicky presentó el modelo de supernova en una famosa conferencia dada en el Caltech en 1931, antes de que nadie lo hubiera observado. Pero años después, el modelo fue confirmado y ahora conocemos cientos de estos objetos. Lo mismo ocurre con las estrellas de neutrones en rotación, identificadas con los púlsares. ¿Por qué tan pocos agujeros negros observados?

Sea como fuere, los astrofísicos creen que los agujeros negros existen, aunque haya tan pocos datos observacionales sobre ellos. Utilizan modelos de "grandes agujeros negros", supuestos ubicados en el centro de galaxias o cúmulos de galaxias, para "explicar" algunas de sus características dinámicas enigmáticas.

En lo sucesivo, deseamos sugerir un destino diferente para las estrellas de neutrones que han superado su límite de estabilidad. Comencemos presentando nuevas herramientas geométricas.

2. Geometría hipertórica.

Consideremos la métrica riemanniana g, en dos dimensiones, cuyo elemento de línea, escrito con un conjunto de dos coordenadas [ r , j ] es:

(3)

donde:

está definido sobre R, módulo 2.

Rs es una constante.

Esta métrica se vuelve asintóticamente euclidiana cuando r tiende al infinito:

(4)

En este sistema particular de coordenadas, la firma es: ( + , + ) para r > Rs ( - , + ) para r < Rs

El determinante:

(5)

se vuelve infinito para r = Rs. Demostramos que esto se debe a esta elección particular de coordenadas. Introduzcamos el siguiente cambio de coordenadas:

(6)

El elemento de línea se convierte en (7)

cuyo determinante asociado es:

(8)

Ya no se anula para todas las valores (lo que muestra además que, en una métrica, la nulidad del determinante del elemento de línea depende de la elección del sistema de coordenadas, como mostró Eddington en 1924 (ref.[10]) para la métrica de Schwarzschild). Cuando tiende a cero (lo que corresponde a

este determinante tiende a:

varía de menos infinito a más infinito, lo cual equivale a r ≥ Rs

La métrica g, sin importar el sistema de coordenadas elegido, describe una superficie, un objeto de dos dimensiones. Esta última posee su propio sistema de geodésicas, fundamentalmente invariante respecto a las coordenadas. Estudiemos este sistema en un sistema de coordenadas mediante las ecuaciones de Lagrange. Introduzcamos la siguiente función F:

(9)

Las ecuaciones de Lagrange correspondientes son:

(10)

(11)

La ecuación (11) da:

(12)

h siendo positivo, negativo o nulo. Además, si en (3) dividimos ambos miembros por , obtenemos, clásicamente:

(13)

a partir de la cual se puede derivar la ecuación diferencial que describe las geodésicas planas, en el sistema de coordenadas:

(14)

La condición |h| ≤ r, según (12), significa que el valor absoluto del coseno del ángulo entre la tangente a la geodésica y el vector radial es ≤ 1.

Ahora, coloquemos la superficie en R3, añadiendo una coordenada de inmersión adicional z. Elegimos coordenadas cilíndricas

La superficie es axialmente simétrica respecto al eje z.

Las geodésicas ( = constante) son las líneas meridianas de esta superficie, donde:

(15)

lo que da inmediatamente la ecuación de la curva meridiana de esta superficie, inmersa en R3. Se trata de la parábola:

(16)

La figura 1 muestra una vista en 3D de esta superficie, inmersa en R3, acompañada de una geodésica y su proyección sobre un plano con coordenadas polares.

Esta superficie no es simplemente conexa. Entre las órbitas del grupo de isometría O2, se encuentra un círculo de perímetro mínimo: el círculo de garganta (p = 2 Rs).

Fig. 1: La superficie, inmersa en R3

y su representación en un sistema de coordenadas.

En la figura 2, se muestran varias geodésicas, en este sistema de representación.

Fig. 2: Representación de algunas geodésicas. Fig 3: Una geodésica particular, atravesando el círculo de garganta.

Observe que esta representación de las geodésicas en un plano no es isométrica. Si medimos la longitud en este plano, no corresponde a la longitud medida sobre la superficie.

Si imponemos que la longitud dS sea real, vemos que determina lo que podríamos llamar la topología local. Llamemos a esta estructura geométrica un puente toroidal. También podemos decir que esta superficie posee una topología toroidal local. Tiene un solo pliegue, que puede considerarse como la unión de dos semipliegues acotados, ambos pegados a lo largo de sus bordes circulares, a lo largo del círculo de garganta, cuyo perímetro es 2 Rs. Estos círculos no son líneas geodésicas (excepto esta geodésica muy particular que es el círculo de garganta, la única cerrada). En cada semipliegue, cuando la distancia respecto al "puente toroidal" tiende al infinito, la métrica tiende a la métrica euclidiana (2). En la figura 2, correspondiente a una representación [ r , ] , las partes superiores de las geodésicas que atraviesan el círculo de garganta se representan con líneas continuas, mientras que las partes correspondientes al otro semipliegue se representan con líneas punteadas. Observe que un semipliegue corresponde a ( ) , por lo tanto el otro corresponde a ( ) . El círculo de garganta corresponde a = 0. Resumen Página siguiente

La métrica g, cualquiera que sea el sistema de coordenadas elegido, describe una superficie, un objeto de dos dimensiones. Esta última posee su propio sistema de geodésicas, fundamentalmente invariante respecto a las coordenadas. Estudiemos este sistema en un sistema de coordenadas mediante las ecuaciones de Lagrange. Introduzcamos la siguiente función F:

(9)

Las ecuaciones de Lagrange correspondientes son:

(10)

(11)

La ecuación (11) da:

(12)

h siendo positivo, negativo o nulo. Además, si en (3) dividimos ambos miembros por , obtenemos, clásicamente:

(13)

a partir de la cual se puede derivar la ecuación diferencial que describe las geodésicas planas, en el sistema de coordenadas:

(14)

La condición |h| ≤ r, según (12), significa que el valor absoluto del coseno del ángulo entre la tangente a la geodésica y el vector radial es ≤ 1.

Ahora, coloquemos la superficie en R3, añadiendo una coordenada de inmersión adicional z. Elegimos coordenadas cilíndricas

La superficie es axialmente simétrica respecto al eje z.

Las geodésicas ( = constante) son las líneas meridianas de esta superficie, donde:

(15)

lo que da inmediatamente la ecuación de la curva meridiana de esta superficie, inmersa en R3. Se trata de la parábola:

(16)

La figura 1 muestra una vista en 3D de esta superficie, inmersa en R3, acompañada de una geodésica y su proyección sobre un plano con coordenadas polares.

Esta superficie no es simplemente conexa. Entre las órbitas del grupo de isometría O2 se encuentra un círculo de perímetro mínimo: el círculo de garganta (p = 2 Rs).

Fig. 1: La superficie, inmersa en R3

y su representación en un sistema de coordenadas.

En la figura 2 se muestran varias geodésicas, en este sistema de representación.

Fig. 2: Representación de algunas geodésicas. Fig. 3: Una geodésica particular, atravesando el círculo de garganta.

Observe que esta representación de las geodésicas en un plano no es isométrica. Si medimos la longitud sobre este plano, no corresponde a la longitud medida sobre la superficie.

Si imponemos que la longitud dS sea real, vemos que determina lo que podríamos llamar la topología local. Llamemos a esta estructura geométrica un puente toroidal. También podemos decir que esta superficie posee una topología toroidal local. Tiene una sola pliegue, que puede considerarse como un conjunto de dos semipliegues acotados, ambos pegados a lo largo de sus bordes circulares a lo largo del círculo de garganta, cuyo perímetro es 2 Rs. Estos círculos no son líneas geodésicas (excepto esta geodésica muy particular que es el círculo de garganta, la única cerrada). En cada semipliegue, cuando la distancia respecto al "puente toroidal" tiende a infinito, la métrica tiende a la métrica euclidiana (2). En la figura 2, correspondiente a una representación [ r , ] , las partes superiores de las geodésicas que atraviesan el círculo de garganta se representan mediante líneas continuas, mientras que las partes correspondientes al otro semipliegue se representan mediante líneas punteadas. Observe que un semipliegue corresponde a ( ) , por lo tanto el otro corresponde a ( ) . El círculo de garganta corresponde a = 0 . Resumen Página siguiente