- Geodésicas en una representación [r, j].
Al introducir (6) en (14), con dr = thr dr, obtenemos: (17)
lo que da la representación [r, j] de las geodésicas. Cuando r tiende a cero, dj/dr tiende a un valor finito, de modo que la tangente del ángulo de inclinación: (18)
tiende a cero en el origen. La imagen del círculo del cuello de Schwarzschild, en esta representación, es un punto cónico. ** ** **
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Fig. 4: La geodésica mostrada en la figura 3, en un sistema de coordenadas (r, j).
El cruce del círculo del cuello corresponde al punto O
Esta es una representación isométrica de las geodésicas. Nótese que también podemos representar la superficie en un sistema [z, r, j], pero ya no es una representación isométrica. Obtenemos entonces el meridiano asociado: (19)
Cuando r tiende a cero, z(r) es lineal. Cuando tiende al infinito, la función tiende a una parábola.
Fig. 5: Meridiano de la superficie, en una representación no isométrica [r, j] de la superficie. ****
La imagen del círculo del cuello de Schwarzschild, en esta representación, es un punto cónico. ** **
- **Extensión a una hipersuperficie 3D con simetría esférica. **
Esto puede extenderse a una hipersuperficie 3D, descrita por el elemento de línea: (20)
Esta métrica se refiere a una hipersuperficie 3D, aquí expresada en un sistema de coordenadas [r, q, j]. La variable r no es una "distancia radial", correspondiente a las "coordenadas esféricas". Encontramos patologías similares en esta nueva expresión del elemento de línea, las cuales pueden eliminarse introduciendo el mismo cambio de coordenadas (6).
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
El elemento de línea se convierte entonces en: (21)
Su firma se convierte en ( +, +, + ) y su determinante: (22)
ya no se anula.
Las geodésicas de esta hipersuperficie están ubicadas en planos. q = p/2 es uno de ellos. En su representación [r, j], coinciden con las de la figura 2. El grupo de isometría es O3 y las órbitas correspondientes son esferas. Entre ellas, una posee un área mínima (la esfera del cuello de tal puente toroidal 3D). Los círculos mayores de las esferas-orbitas no son curvas geodésicas, excepto los casos particulares ubicados en la esfera del cuello cuyo perímetro es 2 p Rs. Las geodésicas de esta esfera particular son las únicas cerradas. Podemos llamar a esta geometría particular una geometría hiper toroidal. Esta superficie 3D no es simplemente conexa. Posee un solo pliegue 3D, que puede considerarse como un conjunto de dos mitades 3D acotadas, pegadas a lo largo de su borde esférico (la esfera del cuello). A gran distancia de este "puente hiper toroidal", la métrica tiende a la métrica euclidiana, aquí escrita en coordenadas esféricas: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **Geometría de Schwarzschild. **
Clásicamente, se considera que su grupo de isometría es SO3 × R, donde R se refiere a las traslaciones de una dimensión. Se dice entonces que esta métrica es independiente del tiempo y con simetría esférica, considerando que R corresponde a las traslaciones temporales.
Expresada en un sistema de coordenadas [x°, r, q, j], donde x° es el marcador del tiempo, el elemento de línea es (24)
Clásicamente, se establece x° = ct, lo cual se supone que define el tiempo cósmico t "de un observador externo". Cuando r >> Rs, (21) tiende a la métrica de Minkowski. Clásicamente, r se asimila a una coordenada radial. (21) muestra una singularidad del término grr y un cambio de firma cuando r = Rs.
Una vez más, podemos regularizar esta métrica usando el cambio de coordenadas (6), pasando a un sistema [t, r, q, j]. El elemento de línea se convierte entonces en: (25)
Las órbitas del grupo de isometría O3 son esferas. Entre ellas, una, la esfera del cuello (esfera de Schwarzschild), posee un área mínima. La hipersuperficie no es simplemente conexa. Forma un solo pliegue espacio-tiempo, que puede considerarse como un conjunto de dos mitades 4D (pliegues gemelos), la primera correspondiente a r > 0 y la segunda a r < 0, de donde la esfera del cuello corresponde a r = 0. Podemos calcular las geodésicas ubicadas en el plano q = p/2. Siguiendo las "coordenadas esféricas":
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Fig. 6: Coordenadas esféricas.
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el elemento es dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
Los círculos j = constante son geodésicas de la esfera, pero, obviamente, no representan todas las geodésicas de la superficie. Solo las que pasan por dos puntos antípodas (polos).
Los círculos q = constante no son geodésicas, excepto el que corresponde a q = p/2 (ecuador).
En un sistema de coordenadas [r ≥ Rs, j], estas geodésicas (de longitud no nula) corresponden a: (26)
La elección del conjunto de constantes [l, h] determina la geodésica. Entre ellas, encontramos geodésicas de tipo hiperbólico, que no cortan la esfera del cuello r = Rs. Ver figura 7.
Figura 7: Geometría de Schwarzschild.
[ r , j ] representación de una geodésica plana hiperbólica que no corta la esfera del cuello r = Rs
También encontramos geodésicas casi elípticas. Ver figura 8
**Fig. 8: Geometría de Schwarzschild.
**[ r , j ] **representación de geodésicas casi elípticas. **
Ahora examinemos las geodésicas que cortan la esfera del cuello r = Rs. En una representación [r, j], llamamos a al ángulo entre la tangente a la geodésica y el vector radial. (27)
La primera ecuación de Lagrange da: (28)
Para valores r ≥ Rs, el parámetro l es estrictamente positivo. Otra ecuación de Lagrange es: (29)
y da una evolución monótona del ángulo j con respecto al tiempo propio s. En este plano (q = p/2), la rotación depende del signo de h.
Según esta nueva interpretación de la geometría de Schwarzschild (considerada como una hipersuperficie no simplemente conexa), podemos representar la geodésica en un sistema [r, j] como se muestra en la figura 9.
Figura 9a: Representación [r, j] de una geodésica que corta la esfera del cuello **** (esfera de Schwarzschild) correspondiente a h ≥ Rs
Una porción de la geodésica se representa con líneas punteadas, ya que se supone que pertenece a la segunda mitad del pliegue 3D, unida a la primera a lo largo de la esfera del cuello, la esfera de Schwarzschild. Esto sugiere una ruptura. Pero esta última se debe a este sistema particular de representación [r, j], que es más familiar para nuestra intuición geométrica humana (limitada). En un espacio de representación 3D obtenemos la figura 9b. Las partículas parecen "rebotar" en la esfera de Schwarzschild.
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Fig. 9b: En el espacio euclidiano 3D, las partículas parecen rebotar en la esfera de Schwarzschild.
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Desde este punto de vista, "no hay nada dentro de la esfera de Schwarzschild", ya que, en este "interior", simplemente estamos "fuera de la hipersuperficie". Recordemos que la esfera del cuello, la esfera de Schwarzschild, corresponde al valor r = 0. La primera mitad del pliegue corresponde a (r > 0) y la segunda a (r < 0).
En una representación [r, j], la apariencia de la geodésica se vuelve bastante diferente. Calculemos la tangente del ángulo b, entre la geodésica y el vector radial (ver figura 6). (30)
Cuando r tiende a ±0, thr ≈ r, por lo tanto: (31)
En la representación [r, j], las geodésicas que pasan de un medio pliegue a otro son tangentes al vector radial. Ya no hay discontinuidad angular en el origen, este último siendo la imagen del círculo del cuello (r = 0). Para una descripción completa de estas geodésicas, debemos regresar al elemento de línea expresado en el sistema de coordenadas [t = x°/c, r, q, j] (24), utilizando el sistema de ecuaciones de Lagrange, con: (32)
Entre estas ecuaciones, encontramos: (33)
Para un valor dado de h, la evolución de j es monótona con respecto al tiempo propio s.
Fig. 10: Representación [r, j] de una geodésica que pasa ** de un medio pliegue (r > 0) al otro (r < 0). **
Como antes, la porción de la geodésica que pertenece al segundo medio pliegue 3D se representa con líneas punteadas.
No podemos dar una inmersión de la hipersuperficie 4D, como hicimos al comienzo del artículo para una superficie 2D. Además, aquí tratamos con geodésicas 4D, no 3D. Los espacios [r, q, j] y [r, q, j] no son otra cosa que espacios de representación, que se supone que hacen las cosas un poco más claras. Las verdaderas geodésicas están inscritas en un espacio 4D. De cualquier manera, la representación [r, q, j] sugiere un "puente hiper toroidal" 3D, mientras que la representación [r, q, j] sugiere un "hipercono" 3D. En esta segunda (3D) representación de esta superficie 2D, las geodésicas van de un medio pliegue a otro pasando por el punto (r = 0). Esto se parece a un cono 2D. Ver figura 11
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Fig. 11: Geodésica de un cono. Derecha: una superficie que posee un punto cónico.
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