- La elección de un marcador de tiempo.
En las coordenadas [t, r, q, j], correspondientes al elemento de línea (25), el determinante del tensor métrico es: (34)
que se anula cuando r se hace cero. Sin embargo, en 1924, Eddington [10] mostró que la nulidad del tensor métrico dependía de las coordenadas. Volvamos primero a la forma inicial (35)
Insistamos en el hecho de que la elección del sistema de coordenadas es puramente arbitraria, ya que el tensor métrico, solución de la ecuación tensorial (36)
S = 0
es fundamentalmente invariante ante cambios de coordenadas. Decidimos que las partículas siguen geodésicas. Las coordenadas arbitrariamente elegidas dan una significación física a esta solución geométrica. Podemos elegir x° = ct, c siendo una constante. Pero podemos elegir otro sistema de referencia. Es nuestra elección. La única condición, para un marcador cronológico elegido x°, o t, x, es que el tensor métrico sea asintóticamente euclidiano: (37)
o: (38)
como se expresa en un sistema de coordenadas cartesianas. Recordemos que un tensor métrico riemanniano es euclidiano si se puede encontrar un sistema de coordenadas donde la forma cuadrática del elemento de línea tenga coeficientes constantes. El conjunto de los signos constituye la firma. Si esta última es (+ - - -), se trata de un tensor métrico de Minkowski. (39)
siendo identificado a una distancia elemental, parece razonable imponer que el tensor métrico sea asintóticamente euclidiano "a gran distancia", independientemente de la definición elegida para tal distancia (r o r, como arriba).
La definición del "tiempo cósmico" o del "marcador espacial" sigue siendo una elección completamente libre. Por el contrario, no podemos modificar el tiempo propio s, o más precisamente, el intervalo de tiempo Ds entre dos puntos dados de la variedad, ya que es fundamentalmente independiente de las coordenadas. Además, se supone que las partículas pueden moverse en ambos sentidos a lo largo de una geodésica dada.
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Figura 12: El recorrido de una partícula a lo largo de una geodésica dada.
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El recorrido de una partícula de prueba a lo largo de una geodésica es un fenómeno. Otra geodésica de la variedad se supone que corresponde a un "observador externo en reposo". Pero el estado de reposo depende de la elección de las coordenadas (x°, x1, x2, x3), que es completamente arbitraria.
Este "observador externo" se supone que se encuentra en una región de la variedad donde el tensor métrico es euclidiano o casi euclidiano, es decir, de la forma (37). Entonces, las condiciones de reposo significan que (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Para un observador en reposo, cualquier intervalo de tiempo propio se identifica con el intervalo de "tiempo cósmico" arbitrariamente elegido: (41)
Ds = Dx°
...La elección del tiempo cósmico siendo puramente arbitraria, la evolución de la partícula de prueba en el tiempo depende de esta elección. Consideremos dos puntos A y B en una geodésica dada, supuesta que corresponde a un observador externo. Estos puntos son eventos espacio-temporales. En la figura 13, las líneas punteadas se suponen corresponden a un tiempo cósmico constante x°.
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Figura 13: Un "observador externo en reposo", "considerando" la evolución de una partícula de prueba en una geodésica. Tiempo cósmico x°
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Consideremos ahora otra elección x para el tiempo cósmico. Ver figura 14.
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Figura 14: Un "observador externo en reposo", "considerando" la evolución de una partícula de prueba en una geodésica. Tiempo cósmico x **
Precisemos que las líneas punteadas no representan las trayectorias de los fotones. Los fotones se mueven a lo largo de geodésicas particulares, geodésicas nulas, que son invariantes ante cambios de coordenadas.
Aún tenemos Ds(O) = Dx° = Dx, pero los intervalos Ds'(TP) y Ds"(TP) pueden ser muy diferentes, aunque se refieran a la misma geodésica, ya que los pares (A',B') y (A",B") pueden diferir. Fundamentalmente, dependen de la coordenada temporal elegida, o del "marcador temporal".
- El cambio de coordenadas temporales de Eddington y su forma extendida.
El siguiente cambio de coordenadas, introducido por Eddington en 1924, ilustrando este punto, es: (42)
El elemento de línea se convierte entonces en: (43)
Como el término gxx se anula en la esfera r = Rs, esta se convierte en una superficie de desplazamiento al rojo infinito (como en el elemento de línea clásico de Schwarzschild). La matriz se convierte en: (44)
cuyo determinante es: (45)
- r 4 sin2 q
y ya no se anula, independientemente del valor de r. Por razones que se explicarán más tarde, extendamos este cambio de coordenadas a: (46)
Expresado en el sistema de coordenadas (x, r, q, j), el elemento de línea se convierte en: (47)
cuyo determinante tiene la misma forma (44). Notemos que el cambio de coordenadas de Eddington corresponde al valor d = -1. Estudiamos las geodésicas mediante las ecuaciones de Lagrange, basadas en la función: (48)
con:
Además, a partir de la expresión del elemento de línea, tenemos clásicamente para las partículas materiales (ds ≠ 0): (49)
Una ecuación de Lagrange da: (50)
Consideremos la geodésica plana q = p/2, lo que da: (51)
A lo largo de una geodésica, con respecto al tiempo propio s, la evolución de j es monótona. Otra ecuación de Lagrange da: (52)
es decir: (53)
Combinando con (49), de manera sorprendente, d desaparece: (54)
Notemos que si dr = 0 (velocidad nula) cuando r tiende al infinito, esto corresponde a l = 1. Cuando r tiende al infinito, según (53): (55)
Si l ≥ 1, cuando r tiende al infinito, obtenemos: (56)
con
obtenemos (57)
En el marco [r, j], recuperamos, para las geodésicas no nulas (ds ≠ 0), la expresión diferencial clásica: (58)
que proporciona los patrones de las figuras 7, 8 y 9. Ahora podemos definir un nuevo tiempo cósmico mediante: (59)
x = ct
...El elemento de línea (43) sigue siendo asintóticamente euclidiano. A "gran distancia", el tiempo propio Ds de un observador en reposo se identifica con el intervalo Dt.
- Intervalos de tiempo para los caminos radiales.
Podemos calcular el intervalo de tiempo Dt = Dx/c de una partícula de masa no nula siguiendo una geodésica, a partir de la ecuación diferencial: (60)
Para las "geodésicas radiales" (h = 0): (61)
Cerca de la esfera de Schwarzschild, obtenemos: (62)
l = 1 corresponde a una partícula de prueba cuya velocidad tiende a cero al infinito.
Consideremos este caso particular: (63)
Según (54)
n = -1 corresponde a los caminos (dr < 0).
n = +1 corresponde a los caminos (dr > 0).
...Notemos que el cambio de coordenadas particular de Eddington corresponde (para r ≥ Rs) a d = +1. Cuando calculamos el tiempo de recorrido radial Dt de una partícula de prueba, con respecto a este nuevo tiempo cósmico, encontramos que este último depende de la dirección del movimiento y del signo de d, es decir, del producto dn. Cuando es positivo, el tiempo de recorrido de una partícula de prueba a lo largo de una geodésica radial (r ≥ Rs) es finito. Cuando es negativo, este tiempo de recorrido se vuelve infinito.
...Como primera consecuencia, si se aplica al modelo de agujero negro de simetría esférica, el cambio de coordenadas de Eddington da un tiempo de caída libre finito Dt. Cuando r = Rs, la velocidad de la partícula se convierte en: (64)
Una partícula de prueba, cayendo hacia la esfera de Schwarzschild, la alcanza con la velocidad c.
- Velocidad de la luz.
Los fotones se mueven a lo largo de geodésicas nulas, correspondientes a: (65)
Consideremos la velocidad: (66)
Según (65), obtenemos: (67)
Cuando r tiende al infinito, vj tiende a ±c.
Cuando dr < 0, tenemos n < 1. Entonces, cuando r = Rs para los caminos (dr < 0): (68)
Cuando una partícula de prueba cae hacia la esfera de Schwarzschild, a lo largo de un camino radial, la alcanza con la velocidad de la luz. En resumen: (69)
(70)
La velocidad de la luz es diferente según se considere caminos (dr > 0) o (dr < 0).
- Efecto de arrastre de marco.
Consideremos el tensor métrico de Kerr: (71)
donde r es una coordenada espacial diferente de la definida anteriormente. Simplemente reproducimos la ecuación 7.110 de la referencia [1]. Calculamos la velocidad del fotón (ds = 0) para movimientos tangentes a círculos (q = p/2, r = constante). Encontramos: (72)
es decir, dos valores distintos. Esto corresponde a un arrastre azimutal y es una propiedad del tensor métrico de Kerr. Según la referencia [1], 7.7, "La solución de Kerr y la rotación", leemos:
Un efecto físico muy interesante se deriva de la naturaleza rotacional de la solución de Kerr; un cuerpo en movimiento geodésico sufre una fuerza proporcional al parámetro a, recordando una fuerza de Coriolis. En términos vagos, podemos pensar que la fuente giratoria "arrasta" el espacio alrededor de ella. En un sentido machiano, las fuentes "se enfrentan" a las condiciones de frontera lorentzianas al infinito para establecer un marco inercial local.
Reexpresado en términos de coordenadas de Eddington, el agujero negro, considerado como fuente del campo, induce un arrastre radial del marco.
- Agujero negro y fuente blanca.
En la sección 4, sugerimos una nueva interpretación de la geometría de Schwarzschild donde la esfera de Schwarzschild, ver figura 9, se comporta como una esfera de garganta conectando dos "pliegues medio-espacio-tiempo". Podemos imaginar una estructura similar combinando las dos geometrías de Schwarzschild siguientes: (73)
(74)
Estas dos son derivadas de (43), la primera expresión (73) correspondiendo a d = -1 y la segunda (74) a d = +1. La conexión no plantea ningún problema, ya que d no aparece en el cálculo de la representación [r, j] de las geodésicas. Ver ecuación (58). Obtenemos así un par "agujero negro - fuente blanca", sin "singularidad central". La materia puede entrar en el agujero negro, pero no puede salir. Por otro lado, la materia puede escapar de la fuente blanca, pero no puede entrar. El tiempo de tránsito es finito en un sentido y infinito en el otro. Calculado con el nuevo tiempo cósmico x, el tiempo de tránsito finito es similar al calculado con el tiempo propio s. Para los caminos radiales: (75)
Este tiempo es muy corto. Como mostró este artículo, el modelo de agujero negro se basa en una elección particular de coordenadas, y en particular del tiempo cósmico. Como se señaló en la sección 6, la elección del marcador temporal es puramente arbitraria. La elección clásica da un sistema casi estacionario, en el cual la caída de la materia, inyectada en el agujero negro, aparece "congelada en el tiempo" desde el punto de vista de un observador externo. Sin embargo, este artículo demuestra que otra elección del marcador temporal, derivada de la idea de Eddington, "descongela" el proceso. Por lo tanto, desde el punto de vista considerado, los agujeros negros, o las parejas agujero negro - fuente blanca, no pueden existir como objetos permanentes, ya que pueden tragar docenas de masas solares por milisegundo. Por lo tanto, queda una pregunta abierta:
- ¿Qué ocurre cuando una estrella de neutrones supera su límite de estabilidad?
- Espacio de representación.
Antes de intentar presentar un proyecto alternativo de modelo, unas palabras sobre lo que podríamos llamar "espacios de representación". Al comienzo del artículo, estudiamos una superficie de 2 dimensiones definida por su elemento de línea. Resultó posible inmersar esta superficie en R3, lo que nos dio una representación isométrica de este objeto geométrico. Por el camino, mencionamos una representación [r, j].
No es posible dar una representación evidente de una hipersuperficie cuatridimensional, ya que no podemos dibujarla ni mostrar figuras sobre ella. Sin embargo, la hipersuperficie puede representarse en muchos espacios de representación, correspondientes a diversos cambios de coordenadas, ya que el objeto es fundamentalmente invariante ante cambios de coordenadas. Por ejemplo, podemos introducir el cambio (6). El elemento de línea se convierte entonces en: (76)
para r > 0
y: (77)
para r < 0.
Las geodésicas "radiales" (por ejemplo q = p/2, dj = 0) convergen hacia el centro geométrico O del sistema (en esta representación particular). Este punto es comparable a un "punto hiperbólico". Una simetría con respecto a un punto en un espacio de 3 dimensiones es una simetría P.
En este marco [t, r, q, j], el elemento de línea de Schwarzschild es simétrico con respecto a P. También es independiente del tiempo (invariante ante traslaciones temporales, es decir, correspondiente a un estado estacionario) y simétrico temporalmente (T-simétrico), invariante bajo la transformación:
t → -t
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Reformulado en términos de coordenadas de Eddington, el agujero negro, considerado como fuente del campo, induce un arrastre radial del marco.
- Agujero negro y fuente blanca.
En la sección 4, sugerimos una nueva interpretación de la geometría de Schwarzschild donde la esfera de Schwarzschild, ver figura 9, se comporta como una esfera de garganta que conecta dos "pliegues medio-espacio-tiempo". Podemos imaginar una estructura similar combinando las dos geometrías de Schwarzschild siguientes: (73)
(74)
Estas dos se derivan de (43), la primera expresión (73) corresponde a d = -1 y la segunda (74) a d = +1. El enlace no presenta ningún problema, ya que d no aparece en el cálculo de la representación [r, j] de las geodésicas. Ver ecuación (58). Obtenemos un par "agujero negro - fuente blanca", sin "singularidad central". La materia puede entrar en el agujero negro, pero no puede salir. Por otro lado, la materia puede escapar de la fuente blanca, pero no puede entrar. El tiempo de tránsito es finito en un sentido y infinito en el otro. Calculado con el nuevo tiempo cósmico x, el tiempo de tránsito finito es similar al calculado con el tiempo propio s. Para los caminos radiales: (75)
Este tiempo es muy corto. Como se mostró en este artículo, el modelo de agujero negro se basa en una elección particular de coordenadas, especialmente del tiempo cósmico. Como se señaló en la sección 6, la elección del marcador de tiempo es puramente arbitraria. La elección clásica da un sistema casi estacionario, donde la caída de la materia, vertida en el agujero negro, está "congelada en el tiempo", con respecto a un observador externo. Pero este artículo muestra que otra elección del marcador de tiempo, derivada de la idea de Eddington, "descongela" el proceso. Desde este punto de vista, los agujeros negros, o los pares agujero negro - fuente blanca, no pueden existir como objetos permanentes, ya que podrían tragar docenas de masas solares por milisegundo. Por lo tanto, aún queda una pregunta abierta:
- ¿Qué ocurre cuando una estrella de neutrones supera su límite de estabilidad?
- Espacio de representación.
Antes de intentar presentar un proyecto alternativo de modelo, unas palabras sobre lo que podríamos llamar "espacios de representación". Al comienzo del artículo, estudiamos una superficie 2D definida por su elemento de línea. Resultó posible inmersar esta superficie en R3, lo que nos dio una representación isométrica de este objeto geométrico. Por cierto, mencionamos una representación [r, j].
No es posible dar una representación evidente de una hipersuperficie cuatridimensional, ya que no podemos dibujarla ni mostrar figuras. Pero la hipersuperficie puede representarse en muchos espacios de representación, correspondientes a diversos cambios de coordenadas, ya que el objeto es fundamentalmente invariante ante cambios de coordenadas. Por ejemplo, podemos introducir el cambio (6). Entonces, el elemento de línea se convierte en: (76)
para r > 0
y: (77)
para r < 0.
Las geodésicas "radiales" (por ejemplo q = p/2, dj = 0) convergen hacia el centro geométrico O del sistema (en esta representación particular). Este punto es comparable a un "punto hiperbólico". Una simetría con respecto a un punto en un espacio 3D es una simetría P.
En este marco [t, r, q, j], el elemento de línea de Schwarzschild es P-simétrico. También es independiente del tiempo (invariante mediante traslación temporal, es decir, corresponde a un estado estacionario) y T-simétrico, invariante mediante:
t → -t