- Grupos de isometría.
Llamemos a a una matriz de rotación en 3D. Escribamos: (78)
Un elemento del grupo SO3 × R puede ser representado por la matriz: (79)
que es el producto de dos matrices. La primera: (80)
pertenece a SO3.
y la segunda: (81)
pertenece al grupo R de las traslaciones temporales. Introduzcamos las simetrías P y T. Obtenemos un grupo de cuatro componentes, cuyo elemento es: (82)
Se trata del producto de dos matrices: (83)
y:
(84)
Llamemos a este segundo subgrupo E1 (grupo euclidiano unidimensional). En la representación [t, r, q, j], el grupo de isometría es O3 × E1. Volvamos a la expresión del elemento de línea en el sistema de coordenadas [t, r, q, j]: (85)
...Clásicamente, se considera que el grupo de isometría asociado es SO3 × R, lo cual no es el más grande. En realidad es O3 × E1, ya que el elemento de línea también es invariante bajo las inversiones espacial y temporal.
Consideremos ahora el elemento de línea expresado en la forma "extendida de Eddington" (86)
que escribimos: (87)
Introduzcamos las coordenadas cartesianas espaciales [x1, x2, x3]: (88)
(89)
(90)
El elemento de línea puede entonces ser expresado en función de las coordenadas [x, x1, x2, x3]. (91)
Ahora buscamos el grupo de isometría de la métrica, tal como se expresa en este sistema de coordenadas particular. Tenemos primero la simetría P. El elemento de línea es invariante bajo: (92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
También es invariante bajo el cambio: (93)
x → -x
d → -d
Y bajo las traslaciones temporales: x = x + ε. Esto corresponde al siguiente grupo de cuatro componentes:
Su elemento es el producto de dos matrices. La primera: (94)
corresponde a O3 y la segunda forma un segundo subgrupo cuyo elemento es: (95)
Llamemos a este segundo subgrupo "TF".
El grupo de isometría de (86) es, por lo tanto:
O3 × TF
Consideremos ahora la métrica de Schwarzschild expresada en el sistema de coordenadas [t = x/c, r, q, j]. Podemos agrupar las dos expresiones (76) y (77) en: (96)
Recordemos que d = -1 trata la mitad del espacio-tiempo r > 0 mientras que d = +1 trata la segunda mitad del espacio-tiempo r < 0, si suponemos que el "agujero negro" se encuentra en nuestro pliegue, y la "fuente blanca" en el "pliegue gemelo".
Si la situación es inversa, es decir, si el "agujero negro" se encuentra en el pliegue gemelo, y la "fuente blanca" en el nuestro, obtenemos:
d = +1 trata la mitad del espacio-tiempo r > 0
d = -1 trata la mitad del espacio-tiempo r < 0
Consideremos el primer caso (el "agujero negro" está en nuestro universo, y la "fuente blanca" en el pliegue gemelo). En este caso, la métrica es: (97)
Al efectuar el cambio:
r → -r
t → -t
d → -d
obtenemos la segunda métrica: (98)
Observemos que la nulidad del determinante cuando r = 0 correspondería a la inversión local del espacio (enantioformismo) y de la coordenada temporal en el punto (r = 0). En efecto, necesitamos un determinante no nulo para definir las coordenadas gaussianas. Ver referencia [1] 2.4
Si el determinante es no nulo, se puede definir una serie de hipersuperficies (x° o x, o t = constante) (correspondiente a un valor constante del marcador cronológico elegido), ortogonales a las líneas geodésicas de las coordenadas x° o x o t ("líneas mundo" para los "puntos estables").
Fig.15: Después de la fig. 2.1 de la referencia [1]
Podríamos expresar (97) y (98) en coordenadas cartesianas, como antes, y encontrar (92) y (93). El grupo de isometría de (96) se convierte en: (99)
Los dos pliegues del espacio-tiempo medio son PT-simétricos.
Recuerde que Andrei Sakharov fue el primero, en 1967 (referencias [26] a [30]), en sugerir que un universo podría estar compuesto por dos universos gemelos, el nuestro y un universo gemelo, con "tiempos opuestos". Más tarde, sugirió que el pliegue gemelo podría ser enantiomorfo.
- El significado físico de la inversión del tiempo cósmico t.
Esta inversión del tiempo es desconcertante. Significa que el marcador temporal t se invierte al seguir una geodésica, del pliegue al otro. ¿Implica esto que el reloj de un "pasajero", atravesando este puente hiper-tórico, se invertiría?
Más arriba, dijimos que un par "agujero negro - fuente blanca" podría existir, donde el "agujero negro" estaría ubicado en el pliegue gemelo y la "fuente blanca" en el otro. Esto significaría que este "pasajero de prueba" podría sumergirse en el primer puente hiper-tórico y salir por el segundo. ¿Podría regresar a su punto de partida espacial y "matar a su padre"?
**
Fig.16: Un viaje (esquemático) paradójico.
**
La respuesta es no, porque el signo del incremento elemental ds de su tiempo propio no cambia a lo largo de la geodésica que sigue. Entonces, ¿cuál es el significado físico de t? Ninguno. Es simplemente una coordenada. *
Solo el tiempo propio tiene un significado físico. *
Entonces, ¿cuál es la consecuencia de la inversión de esta coordenada temporal?
Debemos estudiar la acción coadunta del grupo sobre su espacio de impulso (referencias [11] y [12]). El elemento del grupo es (100)
Se trata de un grupo de dos componentes (m = ±1), de dimensión 4.
La matriz inversa es: (101)
Calculemos el elemento del álgebra de Lie. Escribamos: (102)
da = w d e = e
Calculemos ahora: dg' = g⁻¹ × dg × g (103)
(104)
Para calcular la acción coadunta (ver referencia [11]), introduzcamos el escalar: (105)
cuya invariancia está asegurada si: (106)
es decir: (107)
La identificación proporciona la acción coadunta del grupo sobre su impulso de cuatro componentes: (108)
( l, m )
Recordemos que el número de componentes del impulso es igual a la dimensión del grupo. (109)
(110)
m' = m m
Podemos identificar m con la masa (o con la energía E = mc², indistintamente). (110) significa que cuando una partícula atraviesa la "esfera del cuello", su masa se invierte (m' = -m). Esto no es sorprendente y da un significado muy físico a esta "inversión de la coordenada temporal". ... Siguiendo a J.M. Souriau [12], podemos llamar a la componente (m = +1) del grupo los "ortocrónicos", y a la componente (m = -1) los "antícronos". Los elementos de la componente antícrona invierten la masa. La simetría temporal es equivalente a la simetría m, como lo muestra J.M. Souriau ( [12] p.197, capítulo inversión del tiempo y del espacio).
- Ecuaciones de campo acopladas posteriores.
Partimos de una ecuación de campo con miembro segundo nulo único: (111)
S = 0
que se suponía que provenía de una ecuación completa (de Einstein): (112)
S = c T
aplicada al vacío (T = 0). Podemos suponer que la geometría completa puede ser descrita por dos "métricas conjugadas" g y g*, a partir de las cuales podemos construir dos tensores geométricos de Einstein S y S*. Ver referencias [13] a [15].
Si los dos medios espacios-tiempo están vacíos, el par ( g, g*) es solución del sistema: (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Una solución exacta estacionaria del sistema (113) y (114) se da en la referencia [16]). Ahora podemos llenar el primer pliegue del espacio-tiempo con masa positiva (energía y presión positivas), correspondiente a un campo tensorial T, y el segundo con masa negativa (energía negativa), y suponemos que el campo depende de ambos campos tensoriales, según el formalismo siguiente: (115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
lo que corresponde a geometrías conjugadas: (117)
S* = - S
Tenga en cuenta que esto no significa en absoluto que g* = - g !
Los tensores T y T* pueden ser representados por densidades de masa ρ y ρ* y presiones p y p*.
Aquí, suponemos que ρ, ρ*, p y p* son todos positivos, para mostrar que "es el mismo tipo de materia". El signo menos indica que la "materia gemela" se comporta como masa negativa (y energía y presión negativas). Este sistema de ecuaciones de campo ha sido presentado y estudiado en artículos anteriores (referencias [13] a [15]).
- Un proyecto: el modelo de transferencia hiperespacial.
En los artículos citados, se han presentado soluciones acopladas estacionarias [16] y soluciones uniformes no estacionarias ([14], [15] y [17]). Queremos construir soluciones no estacionarias y no uniformes del sistema (115) más (116). Por ejemplo, consideremos condiciones iniciales donde la materia esté presente en nuestro pliegue del espacio-tiempo F, el segundo pliegue F* estando vacío. El sistema correspondiente sería: (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...Una solución estacionaria de este sistema se presentó en un artículo anterior [16]. En estas condiciones, la materia está presente únicamente en el pliegue F. Podría describir las geometrías conjugadas correspondientes a la presencia de una estrella de neutrones en este pliegue, el nuestro, la porción adyacente del segundo (gemelo) pliegue F* estando vacía. Inicialmente, los dos pliegues no están conectados. La solución, fuera de la estrella de neutrones, obedece: (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Luego, se vierte materia en la estrella de neutrones, hasta alcanzar la criticidad. Los especialistas saben que el primer síntoma de criticidad es el aumento repentino de la presión hasta el infinito en el centro de la estrella de neutrones (supuesta esféricamente simétrica), según el modelo de Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (ref. [1], ecuación 144.22). Creemos que este aumento actúa sobre los valores locales de las constantes de la física (velocidad de la luz, constante gravitacional, masa). Modelos con "constantes variables" fueron inicialmente introducidos por los autores ([18], [19], [20], y [14]). Posteriormente, otros autores desarrollaron este nuevo concepto, de una manera algo diferente [17].
...Creemos que esto provocaría el nacimiento de un puente hiper-tórico que conecta los dos pliegues. Luego, la materia fluiría (rápidamente, a velocidad relativista) del pliegue F al pliegue F*, a través de este paso. Como se indicó anteriormente, este fenómeno invierte la masa, ver sección 14, ecuación (110), por lo que la solución no estacionaria depende del sistema: (122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
A "mitad del camino", T = T*. Entonces, la solución obedece: (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Creemos que es el verdadero significado de la geometría de Schwarzschild. Correspondaría a un marco que pertenece a un proceso no estacionario.
...Esta solución no estacionaria es solo un proyecto de solución. Aún no está construida. No sabemos qué resultaría de ello, ni cómo se vería el proceso completo.
Version originale (anglais)
- **Isometry groups. **
Call **a **a 3d rotation matrix. Write : (78)
The SO3 x R group's element can be figured by the matrix : (79)
which is the product of two matrixes. The first : (80)
belongs to SO3.
and the second : (81)
belongs to the R time-translation group. Introduce P and T symetries. We get a four components group, whose element is : (82)
It is the product of two matrixes : (83)
and :
(84)
Let us call this second sub group E1 (one-dimenional Euclid's group). In the [ t , r , q , j ] representation the isometry group is O3 x E1 Let us return to the expression of line-element in the [t , r ,q, j] coordinate system : (85)
...Classically, one considers that the associated isometry group is SO3 x R , which is not the largest one. It is O3 x E1, for the line-element is also invariant under space and time inversions.
Now, consider the line element expresed into the "extended Eddington" form (86)
that we write : (87)
Introducing cartesian space-coordinates [ x1, x2, x3] : (88)
(89)
(90)
Then the line element can be expressed in terms of [x ,x1,x2,x3] coordinates. (91)
Now we search the isometric group of the metric, as expressed is this peculiar coordinate system. We first have P-symmetry. The line element is invariant under : (92)
x1 ® - x1
x2 ® - x2
x3 ® - x3
It is also invariant through the change : (93)
x ® - x
d ® - d
And through time-translations : x = x + e. It corresponds to the following four components group :
Its element is the product of two matrixes. The first set (94)
corresponds to O3 and the second forms a second sub group whose element is : (95)
Call this second sub-group " TF ".
Then the isometry group of (86) is :
O3 x TF
Consider now the Schwarzschild's metric expressed in [t = x/c , r , q , j ] coordinate system. We can group the two expressions (76) and (77) into : (96)
Remember that d = -1 takes in charge the half space-time r > 0 while d = +1 takes in charge the second half space-time r < 0 , if we consider that the "black hole" is located in our fold, and the "white foutain" in the "twin fold".
If the situation is reversed, i.e. if the "black hole" is located in the twin fold, and the "white foutain" in ours, we get :
d = +1 takes in charge the half space-time r > 0
d = -1 takes in charge the half space-time r < 0
Consider the first case (the "black hole" is in ours universe and the "white foutain" is in the twin fold). There, the metric is : (97)
Changing :
r ® -r
t ® -t
d ® -d
we get the second metric : (98)
Notice that the nullity of the determinant when r = 0 would corresponds to the local inversion of space (enantiomorphy) and time-coordinate at the point ( r = 0 ). In effect we need a non-zero determinant to define gaussian coordinates. See reference [1] 2.4
If the determinant is non zero, it makes possible to define a series of hypersurfaces( x° or x, or t = constant) (corresponding to a constant value of the chosen chronological marker), orthogonal to the geodesic x° or x or t coordinate lines ("world-lines" for "steady points").
Fig.15 : After fig. 2.1 of reference [1]
We could express (97) and (98) in cartesian coordinates, as before, and refind (92) and (93). The isometry group of (96) becomes : (99)
The two half space-time folds are PT-symmetric.
Remeber Andrei Sakharov was the first, in 1967 (references [26] to [30]) to suggest that une Universe could be composed by two twin Universes, ours and a twin one, with "opposite times". Later he suggested that the twin fold could be enantiomorphic.
- **The phyical meaning of the inversion of cosmic time t. **
This time-inversion is puzzling. It means that the time marker t is inversed when one follows a geodesic, from or fold to the twin one. Does it means that the clock of a "passenger", passing through this hypertoric bridge would be reversed ?
Above, we said that a couple "black hole - white foutain" could exist, where the "black hole" would be located in the twin fold and the "white foutain" in the other. It would mean that this "test passenger" could dive into the first hypertoric bridge and rise out from the second one. Could he come back at his space starting point and "kill his father" ?
**
Fig.16 : A (schematic) paradoxical journey.
**
The answer is no, for the sign of the elementary increment ds of his proper time does not change, along the geodesic he follows. So, what is the physical meaning of t ? None. It is just a coordinate. *
Only proper time has a physical meaning. *
So, what is the consequence of the inversion of this time-coordinate ?
We must study the coadjoint action of the group on its space momentum (references [11] and [12]). The element of the group is (100)
This is a two components group ( m = ± 1 ), whose dimension is 4.
The inverse matrix is : (101)
Compute the Lie algebra element. Write : (102)
d** a **= **w ** d e = e
Let us compute : dg' = g-1 x dg x g (103)
(104)
In order to compute the coadjoint action (see ref. [11] ), introduce the scalar : (105)
whose invariance is ensured if : (106)
i.e. : (107)
The identification provides the coadjoint action of the group ont its four components momentum : (108)
( l , m )
Remember the number of momentum's components is equal to the group's dimension. (109)
(110)
m' = m m
We can identify m to the mass (or to the energy E = mc2, indifferently).(110) means that when a particle passes through the "throat sphere" its mass is inversed (m' = -m). This is not surprinzing and gives the very physical meaning of this "inversion of the time-coordinate". ... Following J.M.Souriau [12] we may call the (m = +1) component of the group the "orthochron ones", and (m = -1) the "antichron component". The elements of the antichron component reverse the mass. Time-symmetry is equivalent to m-symmetry, as shown by J.M.Souriau ( [12] p.197, chapter time and space inversions).
- **Subsequent coupled field equations. **
We started from a single zero second member field equation : (111)
S = 0
which was supposed to come from a complete (Einstein's) equation : (112)
S = c **T **
applying to vacuum (T=0). We may assume that the complete geometry may be described by two "conjugated metrics" g and g*, from which we can build two Einstein's geometric tensors S and S*. See references [13] to [15].
If the two half space-times are empty, the set ( **g *, g) is solution of the system : (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(A steady exact solution of the system (113) and (114) is given in reference [16]). Now we can fill the first space time fold by positive mass (positive energy and pressure) corresponding to a tensor field T and the second one by negative mass (negative energy) and we assume that the field depends on boths tensor fields, through the following formalism : (115)
S = c ( **T *- T )
(116)
S* = c ( T*** **- T )
which corresponds to conjugated geometries : (117)
S* = - S
Notice that it definitively does not mean that g* = - g !
Tensors T ans T* can be figured with mass densities r and r* and pressures p and p*.
Here we consider that r, r*, p and p* are all positive, in order to show that "this is the same sort of matter". The minus sign indicates that the "twin matter" behaves like a negative mass (and negative energy and pressure) matter. This system of field equations has been presented and studied in previous papers (references [13] to [15]).
- **A project : the hyperspace transfer model. **
In referenced papers, steady state coupled solutions [16] and non-steady uniform solutions ([14], [15] and [17]) have been presented. We intend to build non-steady and non-uniform solutions of the system (115) plus (116). For example, consider initial conditions where matter is present in our space-time fold F, the second one, F*, being empty. The corresponding system would be : (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...A steady state solution of such a system was presented in a previous paper [16]. In such conditions matter is only present in the fold F. It may describe the conjugated geometries corresponding to the presence of a neutron star in this fold, ours, the adjacent portion of the second (twin) one F* being empty. Initially, the two folds are not connected. The solution, outside the neutron star obeys : (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Then matter is poured into the neutron star, up to criticity. Specialists know that the first symptom of criticity if the suddent raise of the pressure up to infinite at the center of the (supposes spherically symmetric) neutron star, according to the Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) model (ref.[1], equation 144.22). We think that this rise acts on the local values of the constants of physics (light velocity, gravitational constant, mass). Models with "variable constants" were initially introduced by the authors ([18], [19], [20], and [14]). Later, others authors developped this new concept, in a somewhat different way [17].
...We think that this would cause the birth of an hypertoroidal bridge, linking the two folds. Then matter would (rapidly, at relativistic velocity) flow from fold F to fold F*, through this passage. As shown above, this phenomenon inverses the mass, see section 14, equation (110), so that the non-steady solution depends on the system : (122)
S = c ( **T *- T )
(123)
S* = c ( T*** **- T )
At "the middle of the process" T = T* . Then the solution obeys : (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...We think it's the real meaning of the Schwarzschild's geometry. It would correspond to a frame which belongs to a non-steady process.
...This non-steady solution is only a project of solution. It is not built yet. We don't know what would come from, how the complete process would look like.