- Más sobre inmersión y geodésicas.
No todas las superficies pueden inmersarse en R³. Por ejemplo, consideremos la métrica (134)
donde Rs > 0 y r > 0
está definida sobre R módulo 2 
Expresada con estas coordenadas particulares [ r , ], este elemento de línea es regular casi en todas partes (excepto en el punto r = 0). En otro lugar, no surge ningún problema. Su grupo isométrico es O₂. Las órbitas del grupo son círculos r = constante. Podríamos imaginar que esta superficie podría inmersarse en R³, donde aparecería entonces axisimétrica alrededor de un eje z.
Existen geodésicas ( = constante ). Podríamos pensar que son "líneas meridianas" de la superficie, y que la ecuación z ( ) de tal meridiano puede construirse como hicimos al principio del artículo. A lo largo de las geodésicas ( = constante ): (135)
Si esta superficie puede inmersarse en R³, a lo largo de esas geodésicas: (136)
lo que da: (137)
Conclusión: esta superficie no puede inmersarse en R³.
Esta métrica (135) evoca una acción repulsiva.
No todas las superficies, tal como están definidas por su métrica, pueden inmersarse. De todos modos, estas superficies "existen", aunque no podamos tocarlas con nuestras manos. Consideremos la siguiente hipersuperficie 3D, definida por: (138)
con Rs > 0 y r > 0
está definida sobre R módulo 2
No podemos inmersar tal hipersuperficie. Pero existe y posee "geodésicas planas" ( 
= /2).
Podemos calcular el sistema geodésico de estas hipersuperficies 2D y 3D. Podemos representarlas en un plano (r, ). Son reales. (139)
Su trazado es idéntico al de las dos superficies anteriores, tal como están definidas por su elemento de línea (134). Estos dos objetos geométricos son simplemente conexos.
Fig. 25: Geodésicas correspondientes a los elementos de línea (134) y (138)
(Observe que es similar a una acción de repulsión).
Hay algo desconcertante. Dado un elemento de línea, podemos calcular el sistema geodésico. Por ejemplo, el correspondiente a la representación clásica de la geometría de Schwarzschild corresponde a: (140)
Podemos calcular las curvas r ( ) correspondientes a esta ecuación diferencial. Son reales, incluso para valores r < Rs.
Fig. 26: Línea geodésica completa correspondiente al elemento de línea de Schwarzschild.
Entendemos por qué los físicos se desconcertaron tras observar este resultado extraño. Pero existe un hecho matemático: un elemento de línea puede producir un sistema geodésico real, algunas partes correspondiendo a un elemento de longitud imaginario ds.
¿Qué pasa con la física? Identificamos ds como un incremento de tiempo propio. Anteriormente decidimos considerar que ds imaginario no corresponde a una trayectoria física, lo que nos obligó a reconsiderar la "topología local" de la hipersuperficie, cambiando la "topología esferoidal local" por una "topología hipertoroidal local".
En trabajos anteriores, las personas mantuvieron la hipótesis de "topología esferoidal local", lo que hacía problemática la interpretación física del interior de la esfera de Schwarzschild. En la referencia [1], en la sección 6.8, leemos:
(Dentro de la esfera de Schwarzschild) parecería natural reinterpretar r como marcador de tiempo y t como marcador radial (...) ... lo que implicaría que ds² < 0 a lo largo de esta línea de universo.
- Extensión analítica de Kruskal.
En el sistema clásico de coordenadas [x°, r, , ], la velocidad radial de la luz es: (141)
de forma que tiende a cero cuando r tiende a Rs. El argumento de Kruskal es el siguiente (referencia [1], sección 6.8).
Esta es una característica indeseable de las coordenadas de Schwarzschild que podemos eliminar de la siguiente manera; buscamos una transformación para r y t hacia nuevas variables u y v en las que el elemento de línea tome la forma: (6.187)
... llegamos a una transformación adecuada para el interior del radio de Schwarzschild: (6.204)
Mientras que, fuera de esta esfera: (6.201)
La condición fundamental es que f sea regular sobre la esfera de Schwarzschild r = Rs. Siempre a partir de [1]:
Así, u sirve como marcador radial global, y v sirve como marcador temporal global.
Además, a partir de (6.187), las geodésicas nulas (ds = 0) dan una "velocidad de la luz constante": (142)
A partir de (6.201), vemos que cuando r tiende al infinito, f tiende a cero, por lo que Adler, Schiffer y Bazin dicen [1]:
Sin embargo, no corresponden a coordenadas esféricas del espacio plano a distancia asintótica, como lo hacen las coordenadas de Schwarzschild.
La métrica de Kruskal también es una solución no singular de las ecuaciones de Einstein en estas regiones y es equivalente a la solución de Schwarzschild, pero no presenta singularidad en el borde (la esfera de Schwarzschild). Se trata de una extensión analítica de la variedad.
Kruskal se centra en el problema en este borde, que se vuelve no singular, la singularidad concentrándose en el "centro geométrico" donde f tiende al infinito. Siempre usando la referencia [1], reproducimos el pasaje dedicado a las trayectorias radiales de los fotones hacia dentro:
En términos de u, v, la trayectoria es simple; en términos de r y t, sin embargo, vemos que comienza en algún r > Rs finito y x° finito, se mueve hacia adentro hacia r = Rs mientras x° tiende al infinito, y atraviesa la línea x° = infinito hacia el interior de la esfera de Schwarzschild. Después de eso, r continúa disminuyendo a lo largo de la trayectoria, pero x° disminuye. ... Este tratamiento actual también aclara que x° no es un marcador razonable del tiempo dentro de la esfera de Schwarzschild.
Vemos que "nada es perfecto". Con su elección particular de coordenadas, Kruskal logra gestionar el paso a través de la esfera de Schwarzschild, confinando la característica singular de la solución geométrica en una "singularidad central". Pero la métrica ya no es lorentziana en el infinito.
Esto muestra cómo la elección de coordenadas modifica la interpretación de la solución. La nuestra introduce un cambio en la "topología local" (puente hipertoroidal), pero elimina toda singularidad.
- Vuelta a la inmersión.
El teorema de Wiener-Graustein dice que cualquier superficie n-dimensional, con n > 2, puede inmersarse en un espacio cuya dimensión mínima es (143)
Para hipersuperficies 4D, esto corresponde a un espacio de 10 dimensiones. Sabemos que las geodésicas de la geometría de Schwarzschild se encuentran en planos. = p/2 corresponde a uno de ellos. Podemos entonces centrarnos en un subconjunto de las geodésicas ( = p/2). Estas geodésicas dependen de dos parámetros l y h. Sabemos que las geodésicas (l = 1) corresponden a partículas cuya velocidad es nula en el infinito. Además, elijamos el subconjunto de las geodésicas ( = constante). Entonces: (144)
Introduzcamos una coordenada adicional z y escribamos: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Una ecuación diferencial cuya solución es: (147)
Podemos representar estas geodésicas en un espacio 3D [z, r, ]. Son líneas meridianas de una superficie axisimétrica.
Fig. 27: El meridiano de la superficie en la cual se realiza una inmersión isométrica de las geodésicas de Schwarzschild ( = constante).
En el espacio 3D, esta superficie se parece a la figura 28 (corte semicircular).
Fig. 28: La superficie de inmersión.
Si dibujamos las geodésicas "radiales" sobre ella, obtenemos la figura 29.
Fig. 29: Representación de las geodésicas "radiales". Abajo: su proyección sobre un plano [r, ].
Es una inmersión muy parcial, ya que está limitada al conjunto de geodésicas "radiales". La figura 29 evoca un pliegue y sugiere enantiomorfía. De hecho, consideremos un conjunto de tres puntos siguiendo geodésicas radiales. Obtenemos
Fig. 30-a: Tres puntos-masa cayendo hacia el cuello a lo largo de caminos "radiales".
y:
Fig. 30-b: Lo mismo, después de atravesar el cuello.
El triángulo ha sido invertido.
En la proyección plana [r, ] la orientación del triángulo está invertida. Imagine ahora cuatro partículas de prueba siguiendo trayectorias radiales, cayendo hacia la esfera de Schwarzschild, formando un tetraedro. Vea la figura 31.
Fig. 31: Cuatro partículas cayendo sobre la esfera de Schwarzshild a lo largo de geodésicas "radiales" en un espacio euclidiano 3D.
Fig. 32: Después del "rebote" sobre la esfera de Schwarzschild, las partículas se desplazan en el espacio gemelo. El tetraedro está invertido (enantiomorfía).
Volviendo a la representación anterior. El vector normal también se invierte:
Fig. 33: Una geodésica particular = constante en su representación en el conjunto de geodésicas (l = 1), en un espacio (r, , z).