Cosmología
Agujero negro cuestionable.
Jean-Pierre Petit
Observatorio de Marsella, Francia
Pierre Midy
CRI Orsay, Francia
Para correspondencia: 
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Resumen
Partiendo del llamado modelo de agujero negro, considerado como una interpretación física de la geometría de Schwarzschild, reconsideramos el problema del destino de una estrella de neutrones cuando supera su límite de estabilidad. Presentamos primero una nueva herramienta geométrica: la geometría hipertórica, a través de ejemplos en 2d y 3d (sección 2). Mostramos que las patologías asociadas a las métricas, que surgen de su elemento de línea expresado en un sistema de coordenadas dado, pueden subsanarse mediante una elección más adecuada formulada en términos de "topología local". Por ejemplo, mostramos que en los dos ejemplos dados, la superficie 2d y la hipersuperficie 3d, cuyos grupos de isometría son O2 y O3, no son simplemente conexas.
Extendemos el método a la geometría de Schwarzschild. Mostramos que los rasgos singulares pueden eliminarse por completo, considerando una hipersuperficie del espacio-tiempo no simplemente conexa. Damos a la geometría de Schwarzschild un significado físico diferente: un puente que enlaza dos universos, el nuestro y un universo gemelo.
Mostramos que la "congelación del tiempo", piedra angular del modelo de agujero negro, es una simple consecuencia de una elección arbitraria y peculiar de marcador temporal. Usando otro, inspirado en el trabajo de Eddington (1924), derivamos un escenario completamente diferente, que implica un arrastre radial del sistema de referencia (similar al arrastre azimutal del sistema de referencia de la métrica de Kerr). Mostramos que la solución de Schwarzschild puede interpretarse como un "puente espacial", que enlaza dos universos, dos espacios-tiempos, funcionando como un puente de un solo sentido. Mostramos que el tiempo de tránsito de una partícula de prueba es finito y corto, lo que hace inmediatamente cuestionable el modelo clásico de agujero negro.
Extendiendo el grupo de isometría de la métrica de Schwarzschild mostramos que los dos universos son enantiomorfos (P-simétricos) y poseen marcadores temporales opuestos
(t* = - t). Usando una herramienta de grupos: la acción coadjunta de un grupo sobre su espacio de momentos, damos el significado físico de esta "inversión temporal", a través de la superficie esférica de la garganta, la esfera de Schwarzschild: cuando una partícula de masa positiva atraviesa el puente espacial, su contribución al campo gravitatorio se invierte: m* = -m (como mostró J.M. Souriau en 1974, la inversión del marcador temporal es equivalente a inversiones de masa y energía).
Como la cuestión del destino de una estrella de neutrones desestabilizada se convierte en un problema aún abierto, presentamos un proyecto de modelo alternativo: la transferencia hiperespacial de una parte de su materia, a través de un puente espacial, fluyendo esa materia hacia el universo gemelo a velocidad relativista.
De paso recordamos algunos defectos bien conocidos del modelo de Kruskall, en particular el hecho de que no es asintóticamente lorentziano en el infinito.
Sugerimos considerar la geometría de Schwarzschild como una hipersuperficie sumergida en un espacio de diez dimensiones. Vinculando el presente trabajo con otros anteriores, basados en la teoría de grupos, construimos un modelo simétrico CPT. La dualidad materia-antimateria se mantiene en ambos pliegues. Cuando la materia se transfiere hacia el Universo gemelo, experimenta una simetría CPT y su masa (su contribución al campo gravitatorio) se invierte. Pero sigue siendo materia. De forma similar, la antimateria que fluye en el puente espacial sigue siendo antimateria, con masa opuesta, pues la inversión del marcador temporal, como mostró Souriau, implica la inversión de la masa.
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- El modelo de agujero negro.
Las estrellas de neutrones no pueden superar una masa crítica, cercana a 2,5 masas solares. Para masas mayores, su material ya no puede soportar la enorme presión interna debida a la fuerza gravitatoria. Entonces se produce el colapso gravitatorio. Durante mucho tiempo, los teóricos intentaron describir el destino de tal objeto. Observando la métrica de Schwarzschild, expresada a continuación en términos de coordenadas
, donde Rs es el llamado radio de Schwarzschild
(1)
se imaginó que esta solución de la ecuación de Einstein:
(2)
S = 0
con segundo miembro nulo podría resolver el problema. En efecto, si se elige t como "el tiempo cósmico de un observador externo", el tiempo de caída libre de una partícula de prueba, siguiendo una "geodésica radial", desde cualquier punto distante de la esfera de Schwarzschild r = Rs resulta ser infinito, mientras que este tiempo de caída libre Ds, expresado en tiempo propio, permanece finito. Entonces la "descripción física" es la siguiente:
-
El objeto (una estrella de neutrones que supera su límite de estabilidad) experimenta un colapso gravitatorio. Su masa cae rápidamente hacia "el centro geométrico del sistema", descrito como una "singularidad central". Este fenómeno se extiende durante una duración finita Ds, en términos de tiempo propio s.
-
Pero, para un "observador externo", situado a cierta distancia del objeto, este proceso parece "congelado en el tiempo". Además, la esfera de Schwarzschild es una superficie de corrimiento al rojo infinito (debido a la nulidad del término gtt de la métrica en r = Rs).
Este es el modelo de un agujero negro con simetría esférica.
r se identifica con una "distancia radial", lo que significa que uno puede pensar en "lo que hay dentro de la esfera de Schwarzschild". A grandes rasgos, significa que se supone que la "topología local" es "esférica": dentro de la esfera de Schwarzschild se supone situada una "esfera más pequeña", y así sucesivamente, hasta el "centro geométrico" del objeto.
Más tarde el modelo se extendió a una geometría con simetría axial (métrica de Kerr). Pero esta extensión no aporta ningún cambio conceptual fundamental. Por eso nos vamos a concentrar en lo que sigue en un sistema con simetría esférica (pensamos que este estudio podría extenderse más tarde a la métrica de Kerr).
Es un poco extraño que un objeto tan denso pueda describirse mediante una solución de las ecuaciones (2), que a priori se refiere a una porción vacía del Universo donde no hay materia-energía.
Si uno mantiene la descripción
(una elección peculiar de coordenadas), surgen muchas dificultades. Por ejemplo, cuando r tiende a Rs el término grr tiende a infinito.
La signatura de la métrica, expresada con esta elección peculiar de coordenadas, es:
( + - - - ) para r > Rs
( - + - - ) para r < Rs
Cuando una partícula de prueba penetra dentro de la esfera de Schwarzschild su masa se vuelve imaginaria y su velocidad mayor que la velocidad de la luz: se convierte en un taquión.
Considerando el cambio de signatura, algunas personas dijeron:
- No hay problema: dentro de la esfera de Schwarzschild r simplemente se convierte en el tiempo y t en la distancia radial.
Un cosmólogo francés, Jean Heidmann, solía decir: "cuando pensamos en agujeros negros, tenemos que renunciar a todo sentido común".
Por cierto, hay muy pocos candidatos a agujero negro, que es el punto más desconcertante. En efecto, las supernovas, las enanas blancas y las estrellas de neutrones fueron predichas antes de ser observadas. Por ejemplo, Fritz Zwicky presentó el modelo de supernova, en una famosa conferencia dada en Caltech en 1931, antes de que se observara ninguna. Pero año tras año el modelo fue confirmado y ahora conocemos cientos de ellas. Lo mismo ocurre con las estrellas de neutrones en rotación, identificadas con púlsares. ¿Por qué se observan tan pocos agujeros negros?
En cualquier caso, los astrofísicos creen que los agujeros negros existen, incluso si hay tan pocos datos observacionales sobre ellos. "Usan" modelos de "agujeros negros gigantes", supuestamente situados en el centro de galaxias o de cúmulos de galaxias, para "explicar" algunos de sus desconcertantes rasgos dinámicos.
En lo que sigue, nos gustaría sugerir un destino diferente para las estrellas de neutrones que superan su límite de estabilidad. Empecemos por introducir nuevas herramientas geométricas.
- Geometría hipertórica.
Considérese la siguiente métrica riemanniana g, en dos dimensiones, cuyo elemento de línea, escrito con un conjunto de dos coordenadas [ r , j ], es:
(3)
donde:
está definida sobre R, módulo 2 
.
Rs es una constante.
Esta métrica se vuelve asintóticamente euclidiana cuando r tiende a infinito:
(4)
En este sistema peculiar de coordenadas
la signatura es:
( + , + ) para r > Rs
( - , + ) para r < Rs
El determinante:
(5)
se vuelve infinito para r = Rs. Mostremos que esto se debe a esta elección peculiar de coordenadas. Introdúzcase el siguiente cambio de coordenada:
(6)
El elemento de línea se convierte en
(7)
cuyo determinante asociado es:
(8)
Ya no se anula para todos los valores de 
(lo que, por cierto, muestra que, en una métrica, la nulidad del determinante del elemento de línea depende de la elección del sistema de coordenadas, como evidenció Eddington en 1924 (ref.[10]) para la métrica de Schwarzschild). Cuando tiende a cero (lo que corresponde a
este determinante tiende a:
varía de - infinito a + infinito, lo que equivale a r ³ Rs
La métrica g, cualquiera que sea el sistema de coordenadas elegido, describe una superficie, un objeto bidimensional. Este último posee su propio sistema geodésico, básicamente invariante bajo cambios de coordenadas. Estudiemos este sistema en un sistema de coordenadas
mediante un sistema de ecuaciones de Lagrange. Introdúzcase la siguiente función F:
(9)
Las ecuaciones de Lagrange correspondientes son:
(10)
(11)
La ecuación (11) da:
(12)
siendo h positivo, negativo o cero. Además, si en (3) dividimos los dos miembros por , obtenemos, clásicamente:
(13)
de donde podemos derivar la ecuación diferencial que describe las geodésicas planas, en el sistema de coordenadas
:
(14)
La condición IhI £ r, según (12), significa que el valor absoluto del coseno del ángulo entre la tangente a la geodésica y el vector radial es £ 1.
Ahora sumerjamos la superficie en R3, añadiendo una coordenada adicional de inmersión z. Elegimos coordenadas cilíndricas
La superficie es axisimétrica respecto al eje z.
Las geodésicas ( = constante ) son las líneas meridianas de esta superficie, donde:
(15)
lo que da inmediatamente la ecuación de la curva meridiana de esta superficie, tal como está sumergida en R3. Es la parábola:
(16)
La figura 1 muestra una vista 3d de esta superficie, sumergida en R3, más una geodésica y su proyección sobre un plano con coordenadas polares
.
Esta superficie no es simplemente conexa. Entre las órbitas del grupo de isometría O2 encontramos un círculo de perímetro mínimo: el círculo de la garganta (p = 2 Rs).
Fig. 1: La superficie, sumergida en R3
y su representación en un
sistema de coordenadas.
En la figura 2 se muestran varias geodésicas, en este
sistema de representación.
Fig. 2: representación de algunas geodésicas.
Fig 3: Una geodésica peculiar, que cruza el círculo de la garganta.
Obsérvese que esta representación de geodésicas en un plano
no es isométrica. Si medimos la longitud sobre este plano, no corresponde a la longitud medida sobre la superficie.
Si imponemos que la longitud dS sea real, vemos que determina lo que podríamos llamar la topología local. Llamemos a tal estructura geométrica un puente toroidal. Podemos decir también que esta superficie posee una topología toroidal local. Posee un único pliegue, que puede considerarse como un conjunto de dos semipliegues acotados, estando ambos pegados a lo largo de sus bordes circulares por el círculo de la garganta, cuyo perímetro es 2 Rs. Estos círculos no son líneas geodésicas (excepto esta geodésica muy peculiar que es el círculo de la garganta, el único cerrado). Sobre cada semipliegue, cuando la distancia respecto al "puente toroidal" tiende a infinito la métrica tiende a la euclidiana (2). En la figura 2, correspondiente a una representación [ r , ], las porciones superiores de las geodésicas que cruzan el círculo de la garganta se han dibujado como líneas continuas, mientras que las porciones correspondientes al otro semipliegue se han dibujado como líneas punteadas. Obsérvese que un semipliegue corresponde a ( ) , de donde el otro corresponde a (
) . El círculo de la garganta corresponde a
= 0 .