- Geodésicas en una representación [r,j].
Introduciendo (6) en (14), con dr = thr dr obtenemos:
(17)
lo que da la representación [r, j] de las geodésicas. Cuando r tiende a cero dj/dr tiende a un valor finito, de modo que la tangente del ángulo de paso:
(18)
tiende a cero en el origen. La imagen del círculo de la garganta de Schwarzschild, en tal representación, es un punto cónico.
Fig.4: La geodésica mostrada en la figura 3, en un sistema de coordenadas ( r , j ).
El cruce del círculo de la garganta corresponde al punto O
Esta es una representación isométrica de las geodésicas.
Nótese que también podemos figurar la superficie en una representación [z, r ,j], pero esta ya no es isométrica. Obtenemos el meridiano asociado:
(19)
Cuando r tiende a cero z(r) es lineal. Cuando tiende a infinito, la función tiende a una parábola.
Fig. 5: Meridiano de la superficie, en una [ r, j ]
representación no isométrica de la superficie.
La imagen del círculo de la garganta de Schwarzschild, en tal representación, es un punto cónico.
- Extensión a una hipersuperficie 3d con simetría esférica.
Esto puede extenderse a una hipersuperficie 3d, descrita por el elemento de línea:
(20)
Esta métrica se refiere a una hipersuperficie 3d, aquí expresada en un sistema de coordenadas [ r , q , j ]. La variable r no es una "distancia radial", correspondiente a "coordenadas esféricas". Reencontramos patologías similares en este nuevo elemento de línea, que pueden eliminarse introduciendo el mismo cambio de coordenadas (6).
[ r , q , j ] � [ r , q , j ]
Entonces este elemento de línea se convierte en:
(21)
Su signatura se convierte en ( + , + , + ) y su determinante:
(22)
ya no se anula.
Las geodésicas de esta hipersuperficie están situadas en planos. q = p/2 es uno de ellos. En su representación [ r , j ] se identifican con las de la figura 2. El grupo de isometría es O3 y las órbitas correspondientes son esferas. Entre ellas, una posee un área mínima (la esfera de la garganta de tal puente toroidal 3d). Los círculos máximos de las esferas-órbitas no son curvas geodésicas, excepto las peculiares situadas sobre la esfera de la garganta cuyo perímetro es 2 p Rs. Las geodésicas de esta esfera peculiar son las únicas cerradas. Podemos llamar a esta geometría peculiar una geometría hipertoroidal. Esta 3-superficie no es simplemente conexa. Posee un único pliegue 3d, que puede considerarse un conjunto de dos medios pliegues 3d acotados, pegados entre sí a lo largo de su borde esférico (la esfera de la garganta). A gran distancia de este "puente hipertoroidal" la métrica tiende a la euclídea, escrita en adelante en coordenadas esféricas:
(23)
ds2 = dr2 + r2 ( dq2 + sin2q dj2 )
- Geometría de Schwarzschild.
Clásicamente se considera que su grupo de isometría es SO3 X R donde R se refiere a traslaciones unidimensionales. Entonces se suele decir que esta métrica es independiente del tiempo y con simetría esférica, considerando que R corresponde a traslaciones temporales.
Expresado en un sistema de coordenadas [ x� , r , q , j ], donde x� es el marcador temporal, el elemento de línea es
(24)
Clásicamente, se escribe x� = ct , lo que se supone define el tiempo cósmico t de "un observador externo". Cuando r >> Rs (21) tiende a la métrica de Minkowski. Clásicamente r se asimila a una coordenada radial. (21) muestra una irregularidad del término grr y un cambio de la signatura cuando r = Rs .
Una vez más podemos regularizar esta métrica, usando el cambio de coordenadas (6), pasando a un sistema [t, r , q , j ]. Entonces el elemento de línea se convierte en:
(25)
Las órbitas del grupo de isometría O3 son esferas. Entre este conjunto, una, la esfera de la garganta (esfera de Schwarzschild) posee un área mínima. La hipersuperficie no es simplemente conexa. Forma un único pliegue espacio-temporal, que puede considerarse como un conjunto de dos medios pliegues espacio-temporales 4d (pliegues gemelos), el primero correspondiente a r > 0 y el segundo a r < 0 , de donde la esfera de la garganta corresponde a r = 0. Podemos calcular las geodésicas, situadas en el plano q = p/2 . Siguiendo: "coordenadas esféricas":
Fig.6: Coordenadas esféricas.
el elemento es dr2 = r2 ( dq2 + sin2q dj2 )
Los círculos j = constante son geodésicas de la esfera pero, obviamente, no representan todas las geodésicas de la superficie. Solo las que pasan por dos puntos antípodas (polos).
Los círculos q = constante no son geodésicas, excepto el que corresponde a q = p/2 (ecuador).
En un sistema de coordenadas [ r � Rs , j ] estas geodésicas (de longitud no nula) corresponden a:
(26)
La elección del conjunto de constantes [ l , h ] determina la geodésica. Entre ellas encontramos geodésicas tipo hipérbola, que no intersecan la esfera de la garganta r = Rs. Véase la figura 7.
Figura 7: Geometría de Schwarzschild.[ r , j ] representación de una geodésica plana tipo hipérbola
que no corta la esfera de la garganta r = Rs
También encontramos geodésicas cuasi-elípticas. Véase la figura 8
Fig. 8: Geometría de Schwarzschild.[ r , j ] representación de geodésicas cuasi-elípticas.
Ahora centrémonos en las geodésicas que intersecan la esfera de la garganta r = Rs. En una representación [ r , j ], llamemos a al ángulo entre la tangente a la geodésica y el vector radial.
(27)
La primera ecuación de Lagrange da:
(28)
Para valores de r � Rs el parámetro l es estrictamente positivo. Otra ecuación de Lagrange es:
(29)
y da una evolución monótona del ángulo j con respecto al tiempo propio s. En este plano (q = p/2 ) el giro depende del signo de h .
De acuerdo con esta nueva interpretación de la geometría de Schwarzschild (considerada como una hipersuperficie no simplemente conexa) podemos figurar la geodésica en una representación [ r , j ] como se muestra en la figura 9.
Figura 9a: [ r , j ] representación de una geodésica que interseca la esfera de la garganta**(esfera de Schwarzschild) correspondiente a h � Rs**
Una porción de la geodésica se ha figurado como línea de puntos, pues se supone que pertenece al segundo medio pliegue 3d, ligado al primero a lo largo de la esfera de la garganta, la de Schwarzschild. Sugiere una ruptura. Pero esta última se debe a este peculiar sistema [ r , j ] de representación, que es más familiar a nuestra (pobre) intuición geométrica humana. En un espacio de representación 3d obtenemos la figura 9b. Las partículas son como "rebotando" sobre la esfera de Schwarzschild.
Fig.9b: En el espacio de representación euclídeo 3d las partículas
son como rebotando sobre la esfera de Schwarzschild.
Desde este punto de vista, "no hay nada dentro de la esfera de Schwarzschild", pues, en este "interior" simplemente estamos "fuera de la hipersuperficie". Recuérdese que la esfera de la garganta, la esfera de Schwarzschild corresponde al valor r = 0. El primer medio pliegue corresponde a ( r > 0 ) y el segundo a ( r < 0 ) .
En una representación [ r , j ], el aspecto de la geodésica se vuelve bastante diferente. Calculemos la tangente del ángulo b , entre la geodésica y el vector radio (véase la figura 6).
(30)
Cuando r tiende a � 0 thr � r , de donde:
(31)
En la representación [ r , j ] las geodésicas que van de un medio pliegue al otro son tangentes al vector radial. Ya no hay discontinuidad angular en el origen, siendo este último la imagen del círculo de la garganta ( r = 0 ). Para obtener una descripción completa de estas geodésicas debemos volver al elemento de línea, tal como se expresa en el sistema de coordenadas [ t = x�/c, r , q , j ] (24), usando el sistema de ecuaciones de Lagrange, con:
(32)
Entre estas ecuaciones, encontramos:
(33)
Para un valor dado de h la evolución de j es monótona, con respecto al tiempo propio s.
Fig. 10: [ r , j ] representación de una geodésica que pasa
de un medio pliegue ( r > 0 ) al otro ( r < 0 ).
Como antes, la porción de la geodésica que pertenece al segundo medio pliegue 3d se ha figurado como línea de puntos.
No podemos dar una inmersión de la hipersuperficie 4d, como hicimos al principio del artículo para una superficie 2d. Por cierto, tratamos con geodésicas 4d, no 3d. Los espacios [ r , q , j ] y [ r , q , j ] no son más que espacios de representación, que se supone hacen las cosas un poco más claras. Las geodésicas reales están inscritas en un espacio 4d. De todos modos, la representación [ r , q , j ] sugiere algún "puente hipertoroidal" 3d, de donde la representación [ r , q , j ] sugiere algún "hipercono" 3d. En esta segunda representación (3d) de tal superficie 2d hay geodésicas que van de un medio pliegue al otro, pasando por el punto ( r = 0 ). Esto es similar a un cono 2d. Véase la figura 11
Fig. 11: Geodésica de un cono. A la derecha:
una superficie que posee un punto cónico.