- La elección de un marcador temporal.
En las coordenadas [ t , r , q , j ], correspondientes al elemento de línea (25), el determinante de la métrica es:
(34)
que se anula cuando r se hace cero. De todos modos, en 1924, Eddington [10] mostró que la nulidad de la métrica dependía de las coordenadas. Volvamos primero a la forma inicial
(35)
Insistamos en el hecho de que la elección del sistema de coordenadas es puramente arbitraria, pues la métrica, solución de la ecuación en forma tensorial
(36)
S
= 0
es básicamente invariante respecto a las coordenadas. Decidimos que las partículas siguen geodésicas. Las coordenadas elegidas arbitrariamente aportan el significado físico a esta solución geométrica. Podemos elegir x⁰ = ct, siendo c una constante. Pero podemos elegir otro sistema de referencia. Depende de nosotros. El único requisito, para un marcador cronológico elegido x⁰, o t , x , es que la métrica sea asintóticamente euclídea:
(37)
o :
(38)
como se expresa en un sistema de coordenadas cartesianas. Recordemos que una métrica riemanniana es euclídea si se puede encontrar un sistema de coordenadas donde la forma cuadrática del elemento de línea tenga coeficientes constantes. El conjunto de los signos es la signatura.
Si esta última es ( + - - - ) se trata de una métrica de Minkowski.
(39)
siendo identificado a una distancia elemental, parece un requisito razonable imponer que la métrica sea asintóticamente euclídea "a gran distancia", sea cual sea la definición elegida para dicha distancia ( r o r , de arriba).
La definición del "tiempo cósmico" o "marcador espacial", sigue siendo una elección completamente libre. Inversamente, no podemos modificar el tiempo propio
s, o, más precisamente, el intervalo de tiempo Ds entre dos puntos dados de la variedad, pues es básicamente independiente de las coordenadas. Además, se asume que las partículas pueden viajar en ambas direcciones, a lo largo de una geodésica dada.
Fig. 12 : El viaje de una partícula sobre una geodésica dada.
El viaje de una partícula de prueba a lo largo de una geodésica es un fenómeno. Se supone que otra geodésica de la variedad se refiere a algún "observador externo, en reposo". Pero el estado de reposo depende de la elección de coordenadas (x⁰, x1 , x2 , x3) , que es completamente arbitraria.
Se supone que este "observador externo" está ubicado en una porción de la variedad donde la métrica es euclídea, o casi euclídea, es decir, tiene la forma (37). Entonces, las condiciones de reposo significan que
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Para un observador en tal estado de reposo, cualquier intervalo de tiempo propio se identifica con el "intervalo de tiempo cósmico" asociado, elegido arbitrariamente:
(41)
Ds
= Dx⁰
...La elección del tiempo cósmico siendo puramente arbitraria, la evolución de la partícula de prueba en el tiempo depende de esta elección. Consideremos dos puntos A y B, sobre una geodésica dada, que se supone que se refiere a un observador externo. Estos puntos son eventos espacio-temporales. En la figura 13, las líneas punteadas se supone que se refieren a un tiempo cósmico constante x⁰.
Fig. 13 : Un "observador externo en reposo", "considerando" la evolución
de una partícula de prueba sobre una geodésica. Tiempo cósmico x⁰
Consideremos ahora otra elección x para el tiempo cósmico. Véase la figura 14.
Fig. 14 : Un "observador externo en reposo", "considerando" la evolución
de una partícula de prueba sobre una geodésica. Tiempo cósmico x
Precisemos que las líneas punteadas no son trayectorias de fotones. Los fotones viajan sobre geodésicas peculiares, nulas, que son invariantes respecto a las coordenadas.
Todavía tenemos Ds(O) = Dx⁰
= Dx pero los intervalos Ds'(TP) y Ds"(TP) pueden ser bastante diferentes, aunque se refieran a la misma geodésica, pues los pares (A',B') y (A",B") pueden diferir. Básicamente, dependen de la coordenada temporal elegida, o "marcador temporal"..
- El cambio de coordenada temporal de Eddington y su forma extendida.
El siguiente cambio de coordenadas, introducido por Eddington en 1924, una ilustración de este punto, es:
(42)
Entonces el elemento de línea se convierte en
(43)
Como el término gxx se hace cero sobre la esfera r = Rs , esta última es una superficie de corrimiento al rojo infinito (como en el elemento de línea de la métrica de Schwarzschild clásica). La matriz
se convierte en:
(44)
cuyo determinante es:
(45)
- r 4
sin2 q
y ya no se anula, sea cual sea el valor de r. Por razones que se explicarán más tarde, extendamos este cambio de coordenadas a:
(46)
Expresado con el sistema de coordenadas ( x , r , q , j ), el elemento de línea se convierte en:
(47)
cuyo determinante tiene la misma forma (44). Nótese que el cambio de coordenadas de Eddington corresponde al valor d = - 1.
Estudiamos las geodésicas, usando las ecuaciones de Lagrange, basadas en la función:
(48)
con :
Además, de la expresión del elemento de línea, tenemos, clásicamente, para partículas materiales
(ds ≠ 0) :
(49)
Una ecuación de Lagrange da:
(50)
Consideremos la geodésica plana q = p/2 , que da:
(51)
A lo largo de una geodésica, respecto al tiempo propio s, la evolución de j es monótona. Otra ecuación de Lagrange da:
(52)
es decir:
(53)
Combinando con (49), sorprendentemente, d desaparece:
(54)
Nótese que si dr = 0 (velocidad nula) cuando r tiende a infinito, corresponde a l = 1. Cuando r tiende a infinito, después de (53):
(55)
Si l
≠ 1 , cuando r tiende a infinito, obtenemos:
(56)
con
obtenemos
(57)
En [ r , j ] reencontramos, para geodésicas no nulas (ds
≠ 0), la expresión diferencial de la forma clásica:
(58)
que proporciona los patrones de las figuras 7, 8 y 9. Ahora podemos definir un nuevo tiempo cósmico, mediante:
(59)
x = ct
...El elemento de línea (43) sigue siendo asintóticamente euclídeo. A "gran distancia"
el tiempo propio Ds de un observador en reposo se identifica
con el intervalo Dt.
- Intervalos de tiempo para trayectorias radiales.
Podemos
calcular el intervalo de tiempo Dt = Dx/c
de una partícula de masa no nula, siguiendo una geodésica, mediante la ecuación diferencial:
(60)
Para "geodésicas radiales" ( h = 0 ) :
(61)
Cerca de la esfera de Schwarzschild, obtenemos:
(62)
l =
1 corresponde a una partícula de prueba cuya velocidad tiende a cero en el infinito.
Consideremos
ese caso peculiar:
(63)
De (54)
n
= - 1 corresponde a trayectorias (dr < 0).
n
= +1 corresponde a trayectorias (dr > 0).
...Nótese que el cambio de coordenadas peculiar de Eddington corresponde (para
r ≥ Rs) a d = + 1 . Cuando
calculamos el tiempo de viaje radial Dt de una partícula de prueba,
respecto a este nuevo tiempo cósmico, encontramos que este último depende de la dirección de este movimiento y del signo de d, es decir, del producto dn. Cuando es positivo,
el tiempo de viaje de una partícula de prueba, a lo largo de una geodésica radial (r ≥
Rs) es finito. Cuando es negativo, este tiempo de viaje se vuelve infinito.
...Como primera consecuencia, si se aplica al modelo de agujero negro de simetría esférica,
el cambio de coordenadas de Eddington da un tiempo de caída libre Dt finito.
Cuando r = Rs la velocidad de la partícula se convierte en:
(64)
Una partícula
de prueba, que cae hacia la esfera de Schwarzschild, la alcanza a la velocidad
c.
- Velocidad de la luz.
Los fotones
viajan sobre geodésicas nulas, correspondientes a:
(65)
Consideremos
la velocidad:
(66)
De (65)
obtenemos:
(67)
Cuando r
tiende a infinito, vj tiende a ± c .
Cuando dr
< 0 tenemos n < 1 . Entonces, cuando r = Rs para trayectorias (d
r< 0):
(68)
Cuando una partícula de prueba cae hacia la esfera de Schwarzschild, a lo largo de trayectorias radiales, la alcanza a la velocidad de la luz.
En resumen:
(69)
(70)
La velocidad
de la luz es diferente, considerando trayectorias (dr > 0) o (d r< 0).
- El efecto de arrastre del sistema de referencia.
Consideremos
la métrica de Kerr:
(71)
donde r
es una coordenada espacial diferente de la definida arriba. Simplemente reproducimos
la ecuación 7.110 de la referencia [1].
Calculemos la velocidad del
fotón (ds = 0) para movimientos que son tangentes a círculos (q = p/2, r =
constante). Encontramos:
(72)
es decir, dos
valores distintos. Esto corresponde a un arrastre azimutal del sistema de referencia y es una propiedad
de la métrica de Kerr. De la referencia [1], 7.7, "La solución de Kerr y la rotación" leemos:
*Un efecto físico muy interesante resulta de la naturaleza rotacional de la solución de Kerr;
un cuerpo en movimiento geodésico experimenta una fuerza proporcional al parámetro a reminiscente de una fuerza de Coriolis. Hablando en términos generales, podemos pensar en la fuente rotante como "arrastrando" el espacio consigo. En un sentido machiano, la fuente "compite" con las condiciones de contorno lorentzianas en el infinito en el establecimiento de un marco inercial local.
Reformulado en términos de las coordenadas de Eddington, el agujero negro, considerado como
la fuente del campo, induce un arrastre radial del sistema de referencia.
- Agujero negro y fuente blanca.
En la sección 4 hemos sugerido una nueva interpretación de la geometría de Schwarzschild
donde la esfera de Schwarzschild, véase la figura 9, se comporta como una esfera de garganta, enlazando
dos "pliegues de medio espacio-tiempo". Podemos imaginar una estructura similar, combinando
las dos siguientes geometrías de Schwarzschild:
(73)
(74)
Estas dos se derivan de (43), el primer elemento de línea (73) correspondiente a
d = -1 y el segundo (74) a d
= +1 . El enlazamiento no presenta dificultad pues d no
aparece en el cálculo de la representación [ r, j ]
de las geodésicas. Véase la ecuación (58). Obtenemos un par "agujero negro-fuente blanca",
sin "singularidad central". La materia puede entrar en el agujero negro, pero
no salir. Por el otro lado, la materia puede fluir fuera de la fuente blanca, pero
no entrar. El tiempo de tránsito es finito en una dirección, e infinito a lo largo
de la otra. Calculado con el nuevo tiempo cósmico x, el tiempo de tránsito finito
es similar al calculado con el tiempo propio s. Para trayectorias radiales:
(75)
Este tiempo es muy corto. Como se mostró en este artículo, el modelo de agujero negro se
basa en una elección peculiar de las coordenadas, y especialmente del tiempo
cósmico. Como se señaló en la sección 6, la elección del marcador temporal es puramente arbitraria.
La clásica da un sistema casi estacionario, donde la caída de la materia,
vertida en el agujero negro está "congelada en el tiempo", respecto a un
observador externo. Pero el presente artículo muestra que otra elección del marcador
temporal, derivada de la idea de Eddington, "descongela" el proceso. Desde
este punto de vista, los agujeros negros, o los pares agujero negro-fuente blanca, no pueden
existir como objetos permanentes, pues pueden tragar decenas de masas solares por
milisegundo. Así que todavía hay una pregunta abierta:
- ¿Qué
sucede cuando una estrella de neutrones supera su límite de estabilidad?
- Espacio de representación.
Antes
de intentar presentar un proyecto alternativo de modelo, unas palabras sobre lo que podríamos
llamar "espacios de representación". Al principio del artículo, hemos
estudiado una superficie 2d, definida por su elemento de línea. Pareció posible
incrustar esta superficie en R3, lo que dio una representación isométrica de este
objeto geométrico. De paso, mencionamos una representación [r,j].
No es
posible dar una representación evidente de una hipersuperficie de cuatro dimensiones
pues no podemos dibujarla ni mostrar figuras. Pero la hipersuperficie puede ser figurada
en muchos espacios de representación, correspondientes a varias elecciones de coordenadas,
pues el objeto es básicamente invariante respecto a las coordenadas. Podemos, por ejemplo, introducir
el cambio (6). Entonces el elemento de línea se convierte en:
(76)
para r
0
y:
(77)
para r
< 0.
Las geodésicas "radiales" (por ejemplo q = p/2 , dj
= 0 ) convergen hacia el centro geométrico O del sistema (en esta representación
peculiar). Este punto es comparable a un "punto hiperónico".
Una simetría respecto a un punto, en un espacio 3d, es una simetría P.
En este [ t , r , q , j ] el elemento de línea de Schwarzschild es P-simétrico. También es
independiente del tiempo (invariante mediante traslación temporal, es decir, corresponde a un estado estacionario) y T-simétrico, invariante mediante:
t →
- t