- Grupos de isometría.
Sea a una matriz de rotación 3D. Escribimos:
(78)
El elemento del grupo SO3 x R puede representarse mediante la matriz:
(79)
que es el producto de dos matrices. La primera:
(80)
pertenece a SO3.
y la segunda:
(81)
pertenece al grupo de traslaciones temporales R. Introducimos las simetrías P y T. Obtenemos un grupo de cuatro componentes, cuyo elemento es:
(82)
Es el producto de dos matrices:
(83)
y:
(84)
Llamemos a este segundo subgrupo E1 (grupo euclidiano unidimensional).
En la representación [ t , r , q , j ] el grupo de isometría es O3 x E1.
Volvamos a la expresión del elemento de línea en el sistema de coordenadas [t , r ,q, j]:
(85)
...Clásicamente, se considera que el grupo de isometría asociado es SO3 x R, que no es el mayor posible. Es O3 x E1, pues el elemento de línea también es invariante bajo inversiones espaciales y temporales.
Ahora, consideremos el elemento de línea expresado en la forma "de Eddington extendida":
(86)
que escribimos:
(87)
Introduciendo coordenadas cartesianas espaciales [ x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Entonces el elemento de línea puede expresarse en términos de las coordenadas [x ,x1,x2,x3].
(91)
Ahora buscamos el grupo isométrico de la métrica, tal como se expresa en este sistema de coordenadas peculiar.
Primero tenemos la simetría P. El elemento de línea es invariante bajo:
(92)
x1 → - x1
x2 → - x2
x3 → - x3
También es invariante mediante el cambio:
(93)
x → - x
d → - d
Y mediante traslaciones temporales: x = x + e. Esto corresponde al siguiente grupo de cuatro componentes:
Su elemento es el producto de dos matrices. El primer conjunto
(94)
corresponde a O3 y el segundo forma un segundo subgrupo cuyo elemento es:
(95)
Llamemos a este segundo subgrupo "TF".
Entonces el grupo de isometría de (86) es:
O3 x TF
Consideremos ahora la métrica de Schwarzschild expresada en el sistema de coordenadas [t = x/c , r , q , j ]. Podemos agrupar las dos expresiones (76) y (77) en:
(96)
Recordemos que d = -1 se encarga del semiespacio-tiempo r > 0 mientras que d = +1 se encarga del segundo semiespacio-tiempo r < 0, si consideramos que el "agujero negro" está ubicado en nuestro pliegue, y la "fuente blanca" en el "pliegue gemelo".
Si la situación se invierte, es decir, si el "agujero negro" está ubicado en el pliegue gemelo, y la "fuente blanca" en el nuestro, obtenemos:
d = +1 se encarga del semiespacio-tiempo r > 0
d = -1 se encarga del semiespacio-tiempo r < 0
Consideremos el primer caso (el "agujero negro" está en nuestro universo y la "fuente blanca" está en el pliegue gemelo). Allí, la métrica es:
(97)
Cambiando:
r → -r
t → -t
d → -d
obtenemos la segunda métrica:
(98)
Nótese que la nulidad del determinante cuando r = 0 correspondería a la inversión local del espacio (enantiomorfismo) y de la coordenada temporal en el punto ( r = 0 ). De hecho, necesitamos un determinante no nulo para definir coordenadas gaussianas. Véase la referencia [1] 2.4.
Si el determinante es distinto de cero, permite definir una serie de hipersuperficies ( x� o x, o t = constante) (correspondientes a un valor constante del marcador cronológico elegido), ortogonales a las líneas geodésicas de coordenada x� o x o t ("líneas de mundo" para "puntos estacionarios").
Fig.15: Según la fig. 2.1 de la referencia [1]
Podríamos expresar (97) y (98) en coordenadas cartesianas, como antes, y recuperar (92) y (93). El grupo de isometría de (96) se convierte en:
(99)
Los dos pliegues de semiespacio-tiempo son PT-simétricos.
Recordemos que Andrei Sakharov fue el primero, en 1967 (referencias [26] a [30]), en sugerir que un Universo podría estar compuesto por dos Universos gemelos, el nuestro y uno gemelo, con "tiempos opuestos". Más tarde sugirió que el pliegue gemelo podría ser enantiomórfico.
- El significado físico de la inversión del tiempo cósmico t.
Esta inversión temporal es desconcertante. Significa que el marcador temporal t se invierte cuando se sigue una geodésica, desde nuestro pliegue al gemelo. ¿Significa esto que el reloj de un "pasajero", que atraviesa este puente hipertórico, se invertiría?
Arriba, dijimos que podría existir un par "agujero negro - fuente blanca", donde el "agujero negro" estaría ubicado en el pliegue gemelo y la "fuente blanca" en el otro. Esto significaría que este "pasajero de prueba" podría sumergirse en el primer puente hipertórico y emerger del segundo. ¿Podría regresar a su punto de partida espacial y "matar a su padre"?
Fig.16: Un viaje paradójico (esquemático).
La respuesta es no, porque el signo del incremento elemental ds de su tiempo propio no cambia a lo largo de la geodésica que sigue. Entonces, ¿cuál es el significado físico de t? Ninguno. Es solo una coordenada.
Solo el tiempo propio tiene un significado físico.
Entonces, ¿cuál es la consecuencia de la inversión de esta coordenada temporal?
Debemos estudiar la acción coadyugante del grupo sobre su espacio de momentos (referencias [11] y [12]). El elemento del grupo es
(100)
Este es un grupo de dos componentes ( m = ± 1 ), cuya dimensión es 4.
La matriz inversa es:
(101)
Calculemos el elemento del álgebra de Lie. Escribimos:
(102)
da = w
d e = e
Calculemos: dg' = g-1 x dg x g
(103)
(104)
Para calcular la acción coadyugante (véase ref. [11]), introduzcamos el escalar:
(105)
cuya invariancia está asegurada si:
(106)
es decir:
(107)
La identificación proporciona la acción coadyugante del grupo sobre su momento de cuatro componentes:
(108)
( l , m )
Recordemos que el número de componentes del momento es igual a la dimensión del grupo.
(109)
(110)
m' = m m
Podemos identificar m con la masa (o con la energía E = mc2, indistintamente). (110) significa que cuando una partícula atraviesa la "esfera de garganta", su masa se invierte (m' = -m). Esto no es sorprendente y da el significado físico muy concreto de esta "inversión de la coordenada temporal".
... Siguiendo a J.M.Souriau [12] podemos llamar a la componente (m = +1) del grupo las "ortocrónicas", y a (m = -1) la componente "anticrónica". Los elementos de la componente anticrónica invierten la masa. La simetría temporal es equivalente a la simetría m, como mostró J.M.Souriau ([12] p.197, capítulo sobre inversiones de tiempo y espacio).
- Ecuaciones de campo acopladas subsiguientes.
Partimos de una única ecuación de campo con término de segundo miembro nulo:
(111)
S = 0
que se suponía provenía de una ecuación completa (de Einstein):
(112)
S = c T
aplicable al vacío (T=0). Podemos suponer que la geometría completa puede describirse mediante dos "métricas conjugadas" g y g*, a partir de las cuales podemos construir dos tensores geométricos de Einstein S y S*. Véanse las referencias [13] a [15].
Si los dos semiespacios-tiempo están vacíos, el conjunto ( g , g*) es solución del sistema:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Una solución exacta estacionaria del sistema (113) y (114) se da en la referencia [16]). Ahora podemos llenar el primer pliegue de espacio-tiempo con masa positiva (energía y presión positivas) correspondiente a un campo tensorial T y el segundo con masa negativa (energía negativa) y asumimos que el campo depende de ambos campos tensoriales, a través del siguiente formalismo:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
lo que corresponde a geometrías conjugadas:
(117)
S* = - S
Nótese que esto definitivamente no significa que g* = - g !
Los tensores T y T* pueden representarse con densidades de masa r y r* y presiones p y p*.
Aquí consideramos que r, r*, p y p* son todas positivas, para mostrar que "es el mismo tipo de materia". El signo menos indica que la "materia gemela" se comporta como una materia de masa negativa (y energía y presión negativas). Este sistema de ecuaciones de campo ha sido presentado y estudiado en trabajos anteriores (referencias [13] a [15]).
- Un proyecto: el modelo de transferencia hiperespacial.
En los artículos referenciados, se han presentado soluciones acopladas de estado estacionario [16] y soluciones uniformes no estacionarias ([14], [15] y [17]). Pretendemos construir soluciones no estacionarias y no uniformes del sistema (115) más (116). Por ejemplo, consideremos condiciones iniciales donde la materia está presente en nuestro pliegue de espacio-tiempo F, estando el segundo, F*, vacío. El sistema correspondiente sería:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...Una solución de estado estacionario de tal sistema fue presentada en un trabajo anterior [16]. En tales condiciones, la materia solo está presente en el pliegue F. Puede describir las geometrías conjugadas correspondientes a la presencia de una estrella de neutrones en este pliegue, el nuestro, estando la porción adyacente del segundo pliegue (gemelo) F* vacío. Inicialmente, los dos pliegues no están conectados. La solución, fuera de la estrella de neutrones, obedece a:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Entonces se vierte materia en la estrella de neutrones, hasta la criticidad. Los especialistas saben que el primer síntoma de criticidad es el aumento súbito de la presión hasta el infinito en el centro de la estrella de neutrones (supuesta esféricamente simétrica), según el modelo de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) (ref.[1], ecuación 144.22). Pensamos que este aumento actúa sobre los valores locales de las constantes de la física (velocidad de la luz, constante gravitacional, masa). Los modelos con "constantes variables" fueron introducidos inicialmente por los autores ([18], [19], [20], y [14]). Más tarde, otros autores desarrollaron este nuevo concepto, de manera algo diferente [17].
...Pensamos que esto causaría el nacimiento de un puente hipertórico, que enlazaría los dos pliegues. Entonces la materia fluiría (rápidamente, a velocidad relativista) del pliegue F al pliegue F*, a través de este paso. Como se mostró arriba, este fenómeno invierte la masa, véase la sección 14, ecuación (110), por lo que la solución no estacionaria depende del sistema:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
En "la mitad del proceso" T = T* . Entonces la solución obedece a:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Pensamos que este es el verdadero significado de la geometría de Schwarzschild. Correspondería a un marco que pertenece a un proceso no estacionario.
...Esta solución no estacionaria es solo un proyecto de solución. Aún no está construida. No sabemos de qué resultaría, cómo sería el proceso completo.