- Más sobre encaje y geodésicas.
No todas las superficies pueden encajarse en R3. Por ejemplo, considérese la métrica
(134)
donde Rs > 0 y r > 0
está definida sobre R módulo 2 
Expresado con esas peculiares coordenadas [ r , ], este elemento de línea es regular casi en todas partes (excepto en el punto r = 0). En lo demás no surge problema alguno. Su grupo isométrico es O2. Las órbitas del grupo son círculos r = constante. Podríamos imaginar que esta superficie podría encajarse en R3, donde aparecería axisimétrica, alrededor de algún eje z.
Existen geodésicas ( = constante ). Podríamos pensar que son "líneas meridianas" de la superficie y que la ecuación z ( ) de tal meridiano puede construirse como lo hicimos al comienzo del artículo. A lo largo de las geodésicas ( = constante ):
(135)
Si esta superficie puede encajarse en R3, a lo largo de esas geodésicas:
(136)
lo que da:
(137)
Conclusión: esta superficie no puede encajarse en R3.
Esta métrica (135) evoca cierta acción repulsiva.
No todas las superficies, tal como las define su métrica, pueden serlo. De todos modos, estas superficies "existen", aunque no podamos asirlas con nuestras manos.
Considérese la siguiente hipersuperficie tridimensional, definida por:
(138)
con Rs > 0 y r > 0
está definida sobre R módulo 2
No podemos encajar tal hipersuperficie. Pero existe y posee "geodésicas planas" ( 
= /2).
Podemos calcular el sistema geodésico de estas hipersuperficies bidimensional y tridimensional. Podemos representarlas en un plano (r,). Son reales.
(139)
Su diseño es idéntico al de las de la superficie 2 precedente, tal como la define su elemento de línea (134). Estos dos objetos geométricos son simplemente conexos.
Fig.25: Geodésicas correspondientes a los elementos de línea (134) y (138)
(Nótese que es similar a una acción repulsiva).
Hay algo desconcertante. Dado un elemento de línea, podemos calcular el sistema geodésico. Por ejemplo, el de la representación clásica de la geometría de Schwarzschild corresponde a:
(140)
Podemos calcular las curvas r () correspondientes a esta ecuación diferencial.
¡Son reales, incluso para valores r < Rs!
Fig.26: Línea geodésica completa, correspondiente al elemento de línea de Schwarzschild.
Entendemos por qué los físicos quedaron desconcertados tras observar este extraño resultado. Pero hay un hecho matemático: un elemento de línea puede producir un sistema geodésico real, con algunas porciones correspondientes a un elemento de longitud ds imaginario.
¿Y qué hay de la física? Identificamos ds como un incremento de tiempo propio. Arriba hemos decidido considerar que un ds imaginario no corresponde a una trayectoria física, lo que nos obligó a reconsiderar la "topología local" de la hipersuperficie, cambiando la "topología esferoidal local" por una "topología hipertoroidal local".
En trabajos anteriores se mantuvo esta hipótesis de "topología esferoidal local", de modo que la interpretación física del "interior" de la esfera de Schwarzschild se volvió problemática. En la referencia [1], en la sección 6.8 leemos:
(En el interior de la esfera de Schwarzschild) parecería pues natural reinterpretar r como marcador temporal y t como marcador radial (...)
... eso implicaría que ds2 < 0 a lo largo de esta línea de universo.
- La extensión analítica de Kruskal.
En el sistema de coordenadas clásico [x� , r , , ] la velocidad radial de la luz es:
(141)
de modo que tiende a cero cuando r tiende a Rs. El argumento de Kruskal es el siguiente (referencia [1], sección 6.8).
Esta es una característica indeseable de las coordenadas de Schwarzschild que podemos eliminar como sigue; buscamos una transformación para r y t a nuevas variables u y v en las que el elemento de línea tenga la forma:
(6.187)
... llegamos a una transformación apropiada para el interior del radio de Schwarzschild:
(6.204)
Mientras que, fuera de esa esfera:
(6.201)
*
*
El requisito básico es que f sea regular sobre la esfera de Schwarzschild r = Rs. Todavía de [1]:
Así pues, u sirve como marcador radial global, y v sirve como marcador temporal global.
Por cierto, a partir de (6.187), las geodésicas nulas (ds = 0) dan una "velocidad de la luz constante":
(142)
De (6.201) vemos que cuando r tiende a infinito f tiende a cero, de modo que Adler, Schiffer y Bazin dicen [1]:
Sin embargo, no corresponden a coordenadas esféricas para el espacio plano a distancia asintótica, como sí lo hacen las coordenadas de Schwarzschild.
La métrica de Kruskal es también una solución no singular de la ecuación de Einstein en estas regiones y es equivalente a la solución de Schwarzschild, pero no tiene singularidad en la frontera (la esfera de Schwarzschild). Esta es una extensión analítica de la variedad.
Kruskal se concentra en el problema en esta frontera, que se vuelve no singular, quedando la singularidad concentrada en el "centro geométrico" donde f tiende a infinito. Siguiendo usando la referencia [1] reproducimos el pasaje dedicado a las trayectorias radiales del fotón hacia el interior:
En términos de u , v la trayectoria es simple; en términos de r y t , sin embargo, vemos que comienza en algún r > Rs finito y x� finito, viaja hacia el interior hacia r = Rs mientras x� tiende a infinito, y cruza la línea x� = infinito hacia el interior de la esfera de Schwarzschild. Después de eso r sigue disminuyendo a lo largo de la trayectoria, pero x� disminuye. ... El presente tratamiento también aclara que x� no es un marcador temporal razonable dentro de la esfera de Schwarzschild*.
Vemos que "nada es perfecto". Con su peculiar elección de coordenadas, Kruskal logra el cruce de la esfera de Schwarzschild, confinando el rasgo singular de la solución geométrica en una "singularidad central". Pero la métrica ya no es lorentziana en el infinito.
Esto muestra cómo la elección de coordenadas modifica la interpretación de la solución. La nuestra introduce un cambio en la "topología local" (puente hipertoroidal), pero toda singularidad queda eliminada.
22)De vuelta al encaje.
El teorema de Wiener-Graustein dice que cualquier superficie n-dimensional, con n > 2, puede encajarse en un espacio cuya dimensión mínima es
(143)
Para hipersuperficies cuatridimensionales corresponde a un espacio de 10 dimensiones. Sabemos que las geodésicas de la geometría de Schwarzschild yacen en planos. = p/2 corresponde a uno de ellos. Entonces podemos concentrarnos en un subconjunto de geodésicas ( = p/2). Estas geodésicas dependen de dos parámetros l y h. Sabemos que las geodésicas ( l =1 ) corresponden a partículas cuya velocidad es cero en el infinito. Además, elíjase el subconjunto de geodésicas ( = constante ). Entonces:
(144)
Introdúzcase una coordenada adicional z y escríbase:
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
Una ecuación diferencial cuya solución es:
(147)
Podemos representar estas geodésicas en un espacio tridimensional [ z , r ,]. Son líneas meridianas de una superficie axisimétrica.
Fig. 27: El meridiano de la superficie en la que se opera un encaje isométrico de las geodésicas de Schwarzschild ( = constante).
En el espacio tridimensional, esta superficie se parece a la figura 28 (un corte a la mitad).
Fig.28: La superficie de encaje.
Si dibujamos sobre ella las geodésicas "radiales", obtenemos la figura 29.
Fig.29: Representación de geodésicas "radiales". Abajo: su proyección sobre un plano [ r ,].
Es un encaje muy parcial, pues se limita al conjunto de geodésicas "radiales". La figura 29 evoca un pliegue y sugiere enantiomorfía. En efecto, considérense tres puntos que siguen geodésicas radiales. Obtenemos
Fig.30-a: Tres puntos materiales, cayendo hacia la garganta a lo largo de trayectorias "radiales".
y:
**Fig.30-b: Lo mismo, tras cruzar la garganta.
El triángulo se ha invertido.**
En la proyección plana [ r ,] la orientación del triángulo se invierte.
Imagínense ahora cuatro partículas de prueba que siguen trayectorias radiales, cayendo hacia la esfera de Schwarzschild, formando un tetraedro. Véase la figura 31.
Fig.31: Cuatro partículas cayendo sobre la esfera de Schwarzschild a lo largo de geodésicas "radiales" en un espacio de representación euclidiano tridimensional.
Fig.32: Tras "rebotar" en la esfera de Schwarzschild las partículas viajan en el espacio gemelo. El tetraedro se invierte (enantiomorfía)
Volvamos a la representación precedente. El vector normal también se invierte:
Fig.33: Una peculiar geodésica = constante en su representación
En el conjunto de geodésicas (l = 1), en un espacio ( r ,, z ).