El giro del toro
9 de diciembre de 2004
página 6
El giro no trivial del toro
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences.
tomo 293, sesión del 5 de octubre de 1981, serie 1, pp. 269-272
Me limitaré a presentar la
sucesión de dibujos, sin comentarlos.
Giro no trivial del toro. Primera parte
de la transformación
Giro no trivial del toro. Segunda parte
de la transformación
Cuando se llega a la figura v, se ve que entonces es fácil hacer coincidir la estructura
gris y la estructura rosa para transformar este objeto en un recubrimiento
de dos hojas de la botella de Klein.
El giro se realiza entonces mediante
el intercambio de las hojas enfrentadas. A continuación, el mismo dibujo con
una codificación cromática.
Recubrimiento de dos hojas de la botella
de Klein, con codificación cromática
(este dibujo no forma parte de mi informe anual al CNRS.
Se encontrará en el Topologicon)
Las diferentes familias de toros.
Lo que Stephen
Smale había demostrado en 1957 era que solo existía una familia de inmersiones
de la esfera y que todas ellas podían estar relacionadas
entre sí mediante una homotopía. Estas formaban un grupo cuyo elemento
neutro consistía en dejar el objeto tal como estaba. Se preguntó si
podría ocurrir lo mismo con el toro. Los matemáticos
Ioan James y Emery Thomas mostraron que las inmersiones del toro se repartían
en cuatro continentes entre los cuales era imposible pasar mediante
una homotopía regular.
Las cuatro familias de toros
El "toro estándar", dibujado
en el centro de la hoja, pertenece a la misma familia que el objeto
representado en b. Esto es lo que mostré de paso
en la versión del giro del toro que inventé en 1980. La
familia mencionada en a representa un toro que ha sufrido un giro de 360°. Se parece al toro estándar, pero ambos se definen
a partir de su sistema de cartografía, mediante dos
familias de curvas. En el toro estándar se utilizan dos conjuntos de círculos
asimilados a meridianos y paralelos.
En el toro a, debería completarse la familia de círculos pegada
sobre él con una segunda familia, que se retuerce en sentido inverso. Lo que se puede demostrar
entonces es que es imposible, mediante una homotopía regular,
hacer coincidir la malla de este toro a con la malla del toro estándar
(círculos meridianos más círculos paralelos). En este sentido, son objetos diferentes. Todos estos objetos pueden, evidentemente,
configurarse según un recubrimiento de dos hojas de la botella
de Klein.
La potencia de las herramientas del geómetra
consiste en poder predecir lo que es posible y lo que no lo es.
Transformar el toro estándar en el toro de la figura b: sí.
Pasar de c a d: no.
Esto evita perder el tiempo inútilmente
y, sobre todo, incita a buscar cosas que no son en absoluto evidentes, como girar una esfera. Lo mismo ocurre
en todas las ciencias. A veces, las personas pasan por alto
enfoques fructíferos, durante años o incluso
siglos, simplemente porque los creían imposibles de realizar. Dediqué algunos años de mi vida a construir
una teoría de la supresión de las ondas de choque alrededor de un objeto que se
desplaza a velocidades supersónicas en un gas, mediante un campo de fuerzas de Laplace, de la "MHD". Un estudiante
incluso realizó su tesis doctoral sobre este tema bajo mi dirección y publicamos estos trabajos en diferentes revistas con
comité de revisión y congresos científicos. Es un tema que apenas comienza a surgir, treinta años después. Se sospecha que los
estadounidenses dispondrían de aviones hipersónicos capaces de volar a Mach 10 sin crear onda de choque (y en particular, sin sufrir
las formidables tensiones térmicas asociadas a la recomresión del aire detrás de estos "bangs". Es el famoso mito del Aurora,
aparato que vuela a la altitud donde se producen las auroras boreales, entre 80 y 150 km de altitud. Aurora también es la prefiguración de los
futuros lanzadores espaciales que, apoyándose en el aire, serán mucho más económicos
que los cohetes del CNES. Fue imposible, en Francia,
iniciar tales investigaciones (tuve estas ideas en 1975), porque las personas, en particular en el CNRS, las encontraban totalmente irracionales.
El resultado representa treinta años de retraso respecto a Estados Unidos, a mi juicio totalmente irrecuperables.
La petaca de tabaco
Para ser completo, hay que citar las
versiones del giro de la esfera cuyo objeto central es una petaca de tabaco. Era un objeto común cuando yo era
joven, pero que hoy en día apenas se debe encontrar. El primero
que dibujó estas secuencias fue Georges Francis. Desde hace algunos años, trabajo en una versión poliedrica de estas versiones,
que ya ha dado un modelo central bastante bonito. Pero, para mostrárselo, tendré que conseguir
volver a encontrarlo.
Espero que pronto, porque es uno de los objetos más fascinantes que he creado jamás.
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