Volteo de la esfera e inmersión de la botella de Klein

El Volteo de la Esfera

7 de diciembre de 2004

página 1

**Introducción. **

Consideraremos en lo que sigue superficies cerradas, como la esfera, el toro y otras algunas. Son superficies en el sentido que entiende un hombre de la calle, es decir, son objetos de 2 dimensiones que se representan en un espacio euclidiano de tres dimensiones, R3, que es nuestro espacio mental de representación. Estas superficies pueden ser objeto de varios tipos de representación. Si no se cortan a sí mismas, diremos que están inmersas (en R3). Si se cortan, hablaremos entonces de inmersiones y este corte se traducirá entonces por la presencia de un conjunto de auto-intersección (auto-intersección).

En nuestras inmersiones supondremos que el plano tangente varía continuamente y que la superficie es ejemplo de singularidades como podría ser el vértice de un cono. Nuestras superficies serán regulares.

En el caso de las inmersiones, exigiremos que a lo largo de las líneas de auto-intersección los dos planos tangentes a las capas que se cruzan sean distintos.

El mundo de la geometría, tal como lo concibe el matemático, es bastante diferente del mundo físico. El hecho de que las superficies puedan atravesarse a sí mismas no le molesta en absoluto. El mundo físico no permite este tipo de cosas. Pero esto se vuelve posible en el mundo metafísico. Así, en la Biblia se lee que cuando los muertos resuciten, lo harán en forma de "cuerpos gloriosos". Entonces podrán atravesar cualquier cosa y en principio serán capaces de atravesarse a sí mismos. Así, cuando llegue el tiempo del Juicio Final, si paseas por Roma en forma de cuerpo glorioso, y estás perdido y buscas la plaza Navona, podrás tener la tentación de preguntarle el camino a otro ser humano resucitado, que tenga la misma apariencia que tú. Supongamos que la persona a la que preguntas se dirige en dirección opuesta a dicha plaza. En el espacio físico ordinario, para indicarte el buen camino, tendría que girarse sobre sí mismo para señalar con su dedo índice en esa dirección. Pero si camina en forma de cuerpo glorioso, esa rotación ya no será necesaria. Podrá señalar con su índice en su ombligo y atravesarse a sí mismo. Cuando su mano reaparezca al salir de su espalda, solo le quedará decirte "por allí". Al introducir su brazo a través de su vientre, habrá creado en su envoltura corporal un conjunto de auto-intersección formado por dos círculos, que desaparecerá cuando recupere su configuración normal.

Si un ser humano cierra la boca, pone una pinza en sus fosas nasales para taparlas y se ignora sus otros orificios naturales, su envoltura corporal adopta entonces la topología de la esfera S2. Imaginemos un ser resucitado en forma de cuerpo glorioso cuyos orificios naturales estén así tapados. Sabemos que puede atravesarse a sí mismo, es decir, su envoltura corporal puede pasar de una situación de inmersión a una situación de inmersión. Uno de los problemas metafísicos que se planteó entonces fue saber si un hombre resucitado en forma de cuerpo glorioso podría volverse en hacer pliegues.

Una pequeña observación por el camino. Los magos saben utilizar "círculos mágicos" que pueden penetrarse "de forma mágica". Se podría imaginar representar superficies mediante un tipo de "rejilla mágica" tal que las dos capas, representadas aquí una en negro y otra en rosa, puedan atravesarse sin dificultad.

La rejilla mágica

De cualquier manera, hay que convenir que a menudo no hay mucha diferencia entre las matemáticas y la magia. Hace veinte años diseñé una historieta: el Topologicon. Ahora está agotada y inencontrable, salvo como objeto de colección. En una de las páginas se podía ver esto:

Es una lástima que las ediciones Belin hayan decidido abandonar esta colección. Hay que decir que con un precio de fabricación de apenas un euro, vender los álbumes a 13 euros (más el envío), en venta por correo, además de dejar una ganancia de 12 euros, es decir, con un beneficio que supera el 92 por ciento del precio de venta, no corresponde a una estrategia comercial muy evidente, especialmente para negro y blanco.

Consideremos una esfera S2 inmersa en R3. Suponemos que su superficie exterior es gris y su interior tiene un color rosa antiguo. Podemos presionar dos puntos antípodas, que llamaremos arbitrariamente "polo norte" y "polo sur", hasta que se toquen en un punto. Se puede hacer esto, por ejemplo, con un donut. Cuando se trata de un donut matemático (no sabemos si los donuts resucitan o no en forma de cuerpo glorioso), las dos regiones polares, después de haber estado en contacto en un punto, pueden atravesarse mutuamente a lo largo de una curva de auto-intersección que afecta la forma de un círculo. Anticipando, diremos que esta superficie ha sufrido una catástrofe de tipo Do.

Entonces uno podría intentar voltear el donut, la esfera, continuando la operación. Pero entonces se formará un pliegue, que se degradará en un feo pliegue, o más exactamente, una superficie de rebujo (figura d).

A finales de los años cincuenta, la grave cuestión de si se podía voltear donuts metafísicos sin hacer pliegues permanecía sin resolver. En realidad, todo el mundo pensaba que era estrictamente imposible. Pero en 1957 un matemático, Stephen Smale (que recibió la medalla Field pero por un trabajo completamente diferente) demostró que las diferentes inmersiones de la esfera S2 en R3 constituían un único conjunto y que siempre era posible encontrar una secuencia de deformaciones continuas de inmersiones (también llamadas homotopías regulares) que permitieran pasar de una situación a otra. La consecuencia era que se debía poder pasar mediante una secuencia continua de inmersiones del plongamiento estándar de la esfera S2 al plongamiento antipodal. Dicho de manera más simple: se debía poder voltear una esfera sin hacer pliegues, a condición de permitirle que se voltee ella misma.

El tutor de Smale se llamaba Raoul Bott. Él preguntó a su estudiante cómo se debía hacerlo y Smale respondió que no tenía la más mínima idea, pero que su teorema era completamente inatacable. Smale no veía en absoluto en el espacio, pero no le importaba (como ocurre con muchos geómetras). Y, si somos francos, después de demostrar su teorema se reía desesperadamente de la forma en que se podría hacer para concretar la cosa y se apresuró a interesarse en otro tema, dejando a sus colegas matemáticos en la mayor confusión. Me parece que no es muy amable crear así problemas y dejar luego a la gente que los resuelva diez años después.

Hay que decir que es bastante difícil imaginar inmersiones en la cabeza. Sin embargo, conocemos superficies que solo pueden representarse en R3 de esta forma. La botella de Klein, por ejemplo.

Botella de Klein

Se la ha representado aquí con un sistema de malla-sistema de coordenadas constituido por dos conjuntos de curvas cerradas, como el toro. Así, se puede mallar una botella de Klein sin crear singularidades de malla. Pero como se puede ver, esta superficie se atraviesa necesariamente a lo largo de una curva cerrada, un círculo. Por lo tanto, no se puede inmersar un...