Volteo de la esfera y permutación de los puntos cuspidales

El Volteo de la Esfera

8 de diciembre de 2004

página 2

Permutación de los puntos cuspidales de una crosscap

Esto constituirá un pequeño interludio, en el estilo "¿para qué sirve el volteo de la esfera?". Aquí: para permutar los dos puntos cuspidales de una crosscap, lo cual parecía a priori imposible. Inventé este pequeño truco hace una buena docena de años. Nunca ha sido publicado. Pero ¿dónde publicar algo así? No se sabe muy bien. No se trata de "un resultado importante en matemáticas", pero es un ejercicio bastante atractivo. En lo que sigue usaremos representaciones poliédricas. A la derecha, la crosscap "redonda" y a la izquierda una de sus múltiples representaciones poliédricas posibles.

**La crosscap con una de sus múltiples representaciones poliédricas. **

En la figura de abajo y a la derecha, se ha logrado alojar los dos puntos cuspidales C1 y C2 situados en el extremo de su línea de auto-intersección en lo que se puede considerar como una porción de esfera. Sabemos que podemos voltear una esfera. Por lo tanto, podemos someter a este objeto al mismo tratamiento, sin preocuparnos por los diferentes pasos de esta transformación. En lo poliédrico, esto consistirá en voltear el cubo.

Todo lo que sabemos es que al final de la operación tendremos dos tipos de invaginaciones que se presentan como lo vería un observador que se situara "en el interior" de la crosscap inicial (lo cual es una expresión inapropiada ya que esta superficie es unilátera).

Después del volteo, del cubo a la izquierda, de la esfera a la derecha

La representación poliédrica es bastante útil para no perderse en estas operaciones. Solo queda introducir dos dedos en estas invaginaciones y tirar todo hacia afuera:

Tirar el punto cuspidal C2 "hacia afuera"

Si te divierte, podrás construir los modelos poliédricos con cartón. A menos que alguien valiente los construya en vrml para que podamos manipularlos.

Queda por finalizar la operación.

**Paso a una inmersión idéntica a la inicial, con los puntos cuspidales permutados. **

Prometí un día hacer un dossier contando mis encuentros con el psicoanalista Jacques Lacan. La crosscap le sirvió para modelar el "fantasma fundamental". Se había centrado en el "punto cuspidal central" y simplemente había ignorado el segundo. En esta región central, Lacan había localizado el "falo lingüístico" o "objeto pequeño a". Te contaré el resto otra vez. Lo cierto es que Lacan no había previsto que estos puntos pudieran ser "père - mutados". En realidad, cuando me habló de esta modelización lingüístico - geométrico - psicoanalítica fruncí el ceño imaginando que en esta crosscap los dos puntos cuspidales pudieran desempeñar roles diferentes y, en la siguiente fracción de segundo, simplemente al plantearme la pregunta, encontré cómo intercambiarlos. Lacan quedó bastante sorprendido, recuerdo. Su fantasma fundamental tenía dos falos lingüísticos en lugar de uno solo. Todo su asunto se había articulado alrededor de este objeto. Pero inmediatamente le propuse una solución alternativa situando el falo lingüístico en el polo (único) de una superficie de Boy. Así, todo volvió a su lugar a su gran satisfacción.

Este episodio tuvo lugar poco antes de su muerte. Según pude comprobar, este rediseño psicoanalítico - geométrico no parece haberse difundido aún dentro de la comunidad de psicoanalistas lacanianos.

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