El giro de la esfera
El giro de la esfera
7 de diciembre de 2004
página 3
**Las catástrofes elementales. **
Ya dijimos anteriormente que las inmersiones que considerábamos eran tales que los planos tangentes a lo largo de sus conjuntos de auto-intersección, cuando los tenían, permanecían distintos. Es entonces posible pasar de una inmersión a otra mediante cuatro catástrofes elementales. Morin les había dado nombres, que figuran en los dibujos siguientes. La primera conduce a la creación de una curva cerrada (y su degradación, operación inversa). Esto ocurre cuando se sumerge el codo en el agua de un lavabo para apreciar su temperatura (a la izquierda). Figura a4: las superficies están en contacto en un punto. En a5 se ha creado la curva de auto-intersección. En el resto del texto llamaremos a esta operación "la catástrofe del codo".
La "catástrofe del codo": creación y degradación de una curva cerrada
La segunda catástrofe es la de la "rebanada de mandarina":
**La catástrofe consistente en la creación y degradación de una "rebanada de mandarina". **
Si se miran bien estas imágenes, de izquierda a derecha, se verá que un cilindro parabólico se acerca a un diedro. El conjunto de auto-intersección está constituido por dos curvas de forma parabólica, separadas, y obviamente la arista del diedro. En la figura del centro, la arista del diedro está en contacto con una de las generatrices del cilindro. Esta arista es tangente al cilindro en ese punto. El conjunto de auto-intersección está constituido por dos curvas de forma parabólica, tangentes en un punto, y a la arista del diedro. Figura de la derecha: el cilindro parabólico ha continuado su movimiento. La curva de auto-intersección ha cambiado. Está constituida por la arista del diedro, más las curvas parabólicas que se cortan en dos puntos, situados en la arista del diedro. Se puede considerar a la inversa que el cilindro parabólico está inmóvil y que son los dos "planos de corte" los que se desplazan. La figura de la derecha evocaría entonces dos hachazos, o dos cortes efectuados con la sierra. El viruta también está representada. Morin la comparaba con una "rebanada de mandarina", imagen muy elocuente.
La tercera catástrofe es la "de los pantalones".
La catástrofe "de los pantalones"
Las imágenes son suficientemente elocuentes. Se baja de izquierda a derecha un pantalón en el agua. A la izquierda el pájaro pasa por debajo de la entrepierna pero el pez permanece confinado en una de las piernas. A la derecha el pez pasa, pero el paso que usaba el pájaro ha desaparecido. En el centro la situación intermedia. Lo que importa es la modificación local de la curva de intersección, que corresponde a lo que se llama una "cirugía", un cambio de conexión de arcos de curva. Intente integrar bien esta transformación, que resultará ser la más difícil de implementar y de ver bien en la homotopía del giro de la esfera. Tenga bien en cuenta que esta catástrofe cierra un paso al mismo tiempo que abre otro en la dirección perpendicular.
La cuarta y última catástrofe es la de la "inversión de un tetraedro":
La catástrofe que invierte un tetraedro
La curva de auto-intersección está constituida por cuatro "rectas" que son los prolongamientos de los cuatro lados de un tetraedro. En la figura de la izquierda se ha aislado este tetraedro que muestra sus caras grises hacia el exterior. A la derecha, es al revés: las caras son rosas. En el centro, la situación intermedia: el tetraedro se reduce a un punto Q (múltiple, ya que es la intersección de cuatro capas).
Con estas cuatro catástrofes vamos a considerar el giro de una esfera mediante una secuencia continua de inmersiones transversales. Esta variante es debida al matemático (ciego) Bernard Morin. Nuestra reunión merece la pena ser contada. Un día un técnico de la facultad de letras me pidió que usara mis talentos de dibujante para un conferenciante que iba a hablar de geometría. Fui a esa cita sin ninguna desconfianza. Siempre había sido bastante hábil para ver los objetos en el espacio y cuando nuestro profesor de matemáticas superiores nos daba un problema de geometría descriptiva, dibujaba la intersección y proporcionaba una vista en perspectiva al mismo tiempo que él producía su enunciado. Pero allí las cosas sucederían de forma diferente.
No tuve ninguna dificultad en dibujar las figuras anteriores. Pero cuando hubo que integrarlas en un esquema que implicaba el giro de la esfera, finalmente perdí completamente la cabeza, enfrentado a todo un conjunto de capas situadas una detrás de otra. Molesto, volví a ver a este personaje extraño que, aunque privado de la vista, parecía más cómodo que yo en este despliegue de formas. Entonces seguí sus clases durante varios meses. El diálogo era bastante complicado. Por su parte, solo tenía el recurso de la palabra. Por mi parte, podía describirle mis dibujos, o entregarle maquetas realizadas en casa, o posteriormente allí mismo. Habría que grabar estos diálogos, absolutamente surrealistas, del tipo:
*- Trata de imaginar dos curvas que se unan formando algo así como un látigo para batir huevos. *
A pesar de la personalidad difícil del personaje, estas reuniones permanecieron inolvidables para mí. Solo terminé acostumbrándome a tomar dos aspirinas antes de nuestras sesiones de trabajo, como medida preventiva. Su carácter se puede resumir en el apodo con el que su esposa lo calificó: "Relámpago bendecido", un personaje de la viñeta de Hergé "Tintín en el Tíbet". Las rencores de Morin tenían un carácter tan legendario como irreversible. A veces mencionaba a ciertos enemigos suyos, que habían fallecido, diciendo:
- A veces les lanzo una pequeña maldición en el más allá, diciéndome que si no les hace daño, al menos no puede hacerles daño.
Página anterior Página
siguiente
Regresar
al índice Regresar
a la página de inicio
Número de visitas a esta página desde el 8 de diciembre de 2004 :