El giro de la esfera matemática de catástrofe

El giro de la esfera

8 de diciembre de 2004

página 4

La versión de Bernard Morin

Para descargar la versión pdf del artículo de 1979 de B. Morin y J.P. Petit, publicado en Pour la Science

El giro de la esfera (2,8 Mo)

Comenzamos con una esfera que muestra su cara gris hacia el exterior y su cara rosa hacia el interior. En b y c se llevan sus polos en contacto. Luego las capas se atraviesan según una "catástrofe del codo". Se crea una curva cerrada de auto-intersección. En la parte inferior y a la derecha, tres cortes medios permiten comprender mejor la configuración obtenida. En este momento, la esfera se parece a un "bote inflable" circular, con un "tubo" y un "piso" de doble pared.

Primera etapa: una "catástrofe del codo". Creación de una curva cerrada de auto-intersección

Segunda operación: nueva catástrofe del codo, creación de una segunda curva cerrada.

Segunda creación de una curva cerrada de auto-intersección.

Para hacerlo, el "bote inflable" se dobló, con un movimiento de torsión, lo que permitió llevar dos partes del "tubo", diametralmente opuestas, en contacto. La siguiente imagen es el resultado de dos catástrofes que condujeron a la creación de "rebanadas de mandarina".

Después de la creación de dos "rebanadas de mandarina"

A la izquierda se han realizado cortes en el modelo. En el centro, la forma en que los dos cilindros, cuya sección local afecta la forma de la letra griega "gamma", se han atravesado. Recordemos que la catástrofe de creación de "rebanadas de mandarina" se realizaba cortando un "tronco" con dos planos formando un diedro. Cada una de las estructuras cilíndricas cuya sección es en "gamma" contiene tanto la sección redondeada como el diedro. Mire con atención la figura i. En j se ha dibujado el conjunto de auto-intersección. La porción de curva cerrada más grande proviene de la primera "catástrofe del codo" que había transformado la esfera en "bote inflable". Después de crear las dos rebanadas de mandarina, obtenemos un conjunto más complejo cuyo j es un subconjunto. En j se puede ver que esta estructura puede compararse con el ensamblaje de dos "rebanadas de mandarina" sobre dos aristas de un tetraedro, no adyacentes.

Todo esto será un día mucho más fácil de comprender cuando pueda producir animaciones. No me plantea ningún problema técnico a priori. Es simplemente una cuestión de tiempo. Pocas personas pueden no solo ver en el espacio, es decir, leer este código que utiliza líneas, puntos, colores, sombras y reflejos, sino también encadenar en su cabeza transformaciones imaginando el movimiento sugerido. Espero tener un día el tiempo para hacer todas estas cosas. Observemos de paso que se podrían utilizar modelos poliédricos, como hice para mostrar cómo se puede transformar una Crosscap en una Superficie de Boy. Ese es el futuro. Pero estos modelos hay que inventarlos. Más adelante encontrará la versión poliédrica optimizada del modelo central de esta transformación imaginada por Bernard Morin (recordemos que es ciego), junto con la forma de construirlo usted mismo a partir de un corte.

¿Por qué no he llevado estas cosas más lejos? Diría que por falta de "salidas". No hay revistas de matemáticas que acepten publicar trabajos como estos. Pudimos hacerlo en 1975-78 a través de algunas notas en los Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de París, que probablemente no fueron leídas por mucha gente. Pero fue porque el académico André Lichnérowicz se interesaba personalmente en estos trabajos. Hoy está fallecido. Como estos trabajos ya estaban completamente terminados desde 1975, habría sido deseable producir un film de animación a partir de mis dibujos. Habiendo trabajado en dibujo animado, estaba completamente capacitado para coordinar una empresa así. Pero fue imposible encontrar financiación en el Cnrs y finalmente fue el matemático estadounidense Nelson Max quien, inspirándose en maquetas construidas por su colega Charles Pugh (de esta misma versión del giro de la esfera), y utilizando un poderoso ordenador, logró producir el primer film. Pero no es ni la primera ni la última vez que franceses, que no reciben ningún eco de sus esfuerzos, son superados por colegas extranjeros mejor organizados y mejor apoyados.

Pasemos a la tercera fase, la más difícil de comprender.

Preparación de dos catástrofes "de pantalón"

En la figura k se distinguen claramente los dos extremos de "piernas de pantalón", cuyo detalle figura en un primer plano k'. La flecha blanca indica el paso "entre piernas". Esta transformación es realmente difícil de comprender. He añadido el dibujo m para intentar ser mejor comprendido. En l he representado con puntos la curva de auto-intersección, que figura en su totalidad en l'. Un paso (el que toma la flecha blanca) se cerrará. Este movimiento de cierre irá acompañado del ascenso de una parte de la curva de intersección, en dos lugares. Estos extremos de curva llegarán al contacto, cada uno, sobre una de las líneas pertenecientes a "rebanadas de mandarina". Cuando el contacto se efectúe, la cirugía se realizará. La dificultad radica en el hecho de que, una vez que se han visto las cuatro catástrofes elementales, en la página anterior, es necesario ser capaz de trasladarlas desde todos los ángulos, girando el cuello si es necesario. En n se ha representado el momento crítico en el que se realiza la cirugía (la "situación media" de la transformación) y en el que el modo de conexión de los extremos de la curva se modificará. Se sabe que esta catástrofe "de pantalón" cierra un paso y abre otro. El paso inicial está representado por la flecha blanca. Pero existe otro que se vería desde el mismo ángulo al girar el modelo 180° sobre sí mismo alrededor de un eje vertical. Estas flechas forman una sola. Antes de que se produzcan estas catástrofes, aún es posible circular en este "bote inflable doblado". Cuando estas catástrofes hayan hecho su efecto, este paso ya no será posible. En cambio, se habrán creado otros dos pasos. Pero ¿dónde, qué partes del espacio están involucradas? Estos pasos pondrán en comunicación el interior de las rebanadas de mandarina con el exterior. En l', usted puede ver estas rebanadas de mandarina. Pasemos a la siguiente etapa.

Cierre del paso. Hacia una doble situación crítica

En o se han representado las dos catástrofes "de pantalón" en dos etapas diferentes. Uno de los pasos está completamente cerrado. Estamos en situación crítica, justo antes de que los arcos de curva cambien su modo de conexión. A la derecha (detalle de la figura o') el paso está solo en el proceso de cerrarse. Por lo tanto, la apariencia de la curva de auto-intersección o" es diferente a la derecha y a la izquierda. En las figuras p, p' y p" se alcanza la criticidad (situación "media" de la transformación) en ambos lados. En la lámina siguiente, las cirugías han hecho su efecto. Los tubos...