Volteo del toro de Klein

El Volteo del Toro

5 de diciembre de 2004

página 6

El volteo no trivial del toro **
**J.P.Petit : ** **
Comptes Rendus Académie des Sciences.
tome 293 , séance du 5octobre 1981, série 1 pp. 269-272

Me limitaré a presentar la secuencia de dibujos, sin comentarlos.

**Volteo no trivial del toro. Primera parte de la transformación **

**Volteo no trivial del toro. Segunda parte de la transformación **

Cuando se llega a la figura v se ve que es entonces fácil hacer coincidir la estructura gris y la estructura rosa para transformar este objeto en un revestimiento de dos hojas de la botella de Klein.

El volteo se efectúa entonces intercambiando las hojas enfrentadas. A continuación, el mismo dibujo con un codificado cromático.

Revestimiento de dos hojas de la botella de Klein, con codificación cromática

(este dibujo no forma parte de mi informe anual al CNRS. Se encontrará en el Topologicon )

Las diferentes familias de toros.

Lo que había demostrado Stephen Smale en 1957 era que solo existía una familia de inmersiones de la esfera y que todas podían ser conectadas entre sí mediante una homotopía. Estas formaban un grupo cuyo elemento neutro consistía en dejar el objeto como estaba. Se preguntó si ocurriría lo mismo con el toro. Los matemáticos Ioan James y Emery Thomas demostraron que las inmersiones del toro se distribuían en cuatro continentes entre los que no era posible pasar mediante una homotopía regular.

Las cuatro familias de toros

El "toro estándar", dibujado en el centro de la hoja, pertenece a la misma familia que el objeto representado en b. Esto es lo que mostré brevemente en la versión del volteo del toro que inventé en 1980. La familia mencionada en a representa un toro que ha sufrido un giro de 360°. Se parece al toro estándar, pero ambos se definen a partir de su sistema de cartografía, mediante dos familias de curvas. En el toro estándar se utilizan dos conjuntos de círculos asimilados a meridianos y paralelos. En el toro a se debería completar la familia de círculos pegados sobre él con una segunda familia, que se vuelve en sentido inverso. Lo que se puede mostrar entonces es que es imposible, mediante una homotopía regular, llevar el entramado de este toro a en coincidencia con el entramado del toro estándar (círculos meridianos más círculos paralelos). Es en este sentido que son objetos diferentes. Todos estos objetos pueden, por supuesto, configurarse según un revestimiento de dos hojas de la botella de Klein.

La potencia de las herramientas del geómetra es poder predecir lo que es posible y lo que no lo es. Transformar el toro estándar en el toro de la figura b: sí. Pasar de c a d: no.

Esto evita perder el tiempo estúpidamente y sobre todo incita a buscar cosas que no son en absoluto evidentes, como voltear una esfera. Ocurre lo mismo en todas las ciencias. A veces la gente pasa por alto métodos fructíferos durante años o incluso siglos, simplemente porque los consideraban imposibles de realizar. Dediqué algunos años de mi vida a construir una teoría de la supresión de las ondas de choque alrededor de un objeto que se mueve a velocidad supersónica en un gas, mediante un campo de fuerzas de Laplace, de la "MHD". Un estudiante incluso hizo su tesis sobre este tema bajo mi dirección y publicamos estos trabajos en diferentes revistas con comité de lectores y congresos científicos. Es un tema que comienza a surgir, treinta años después. Se sospecha que los estadounidenses disponen de aviones hipersónicos capaces de volar a Mach 10 sin crear ondas de choque (y en particular sin sufrir las formidables tensiones térmicas relacionadas con la recompresión del aire detrás de estos "bangs". Es el famoso mito de la Aurora, un avión que cruza a la altitud donde ocurren las auroras boreales, entre 80 y 150 km de altitud. Aurora también es la prefiguración de los futuros lanzadores espaciales que, apoyándose en el aire, serán mucho más económicos que las naves del CNES. Ha sido imposible, en Francia, iniciar tales investigaciones (tuve estas ideas en 1975), porque la gente, en particular en el CNRS, las encontraba totalmente irracionales. El resultado representa treinta años de retraso frente a los Estados Unidos, a mi juicio totalmente irreparables.

La broma de tabaco

Para completar, es necesario mencionar las versiones del volteo de la esfera que tienen como objeto central una broma de tabaco. Era un objeto que era común cuando era joven, pero que hoy en día ya no se encuentra con tanta frecuencia. El primero que dibujó estas secuencias fue Georges Francis. Desde hace unos años trabajo en una versión poliédrica de estas versiones, que ya ha dado un modelo central bastante bonito. Pero, para mostrárselo, tendré que encontrarlo de nuevo. Pronto, espero, ya que es uno de los objetos más fascinantes que he creado.

Página anterior Página siguiente

Volver
al índice Volver
a la página de inicio

Número de visitas a esta página desde el 8 de diciembre de 2004 :

Imágenes