Prólogo al artículo publicado en 1994 en la revista Nuovo Cimento
El punto de partida de este trabajo se sitúa en 1977. Dos notas en los Comptes rendus de l'Académie des Sciences de París:
J.P. Petit: "Universos enantiomorfos con flechas del tiempo opuestos", CRAS del 8 de mayo de 1977, t. 285, pp. 1217-1221
J.P. Petit: "Universos en interacción con su imagen en el espejo del tiempo", CRAS del 6 de junio de 1977, t. 284, serie A, pp. 1413-1416
En el artículo que sigue, habíamos intentado establecer una relación punto a punto (aplicación involutiva) entre los puntos del entorno terrestre (a escala cosmológica) y los puntos conjugados del segundo universo (al que llamamos universo gemelo: twin universe, o universo sombra: shadow universe, o universo fantasma: ghost universe, denominación que en nuestro pensamiento es equivalente), utilizando una relación de antipodalidad, lo que implicaba una hipótesis inicial sobre la topología del objeto geométrico. Posteriormente, nos dimos cuenta de que esto no era necesario, ya que se podía definir la estructura local (F,F*) como un recubrimiento de dos hojas de una "variedad esqueleto". La estructura resulta entonces ser la de un recubrimiento de dos hojas de un proyectivo P3, equivalente a tres dimensiones del proyectivo P2, a dos dimensiones, más conocido, por lo tanto, la representación más conocida es la superficie descubierta en 1902 por el austríaco Werner Boy, ver la figura 184 (en principio una animación, cuando el sitio esté completo).
Boy era alumno del gran matemático Hilberth, quien se declaró muy satisfecho de la invención de su alumno. Para la pequeña historia, tras su invención, Boy abandonó la universidad y ya nunca más se supo de él. Todos los intentos realizados por los historiadores para localizarlo fueron infructuosos. No se sabe si murió de una mala gripe o si terminó sus días como fontanero.
Los geómetras saben que se puede hacer coincidir todos los puntos de una esfera S2 según un proyectivo P2, como se menciona en la figura 10 del artículo siguiente. El polo norte queda así en coincidencia con el polo sur y el ecuador se enrolla sobre sí mismo según el pseudoecuador de la superficie de Boy, también indicado. Este recubrimiento de dos hojas se indica en la figura 11 del artículo. Se observará, al menos en dos dimensiones, que esta operación hace coincidir objetos enantiomorfos, espejo. Las figuras 12 y 13 son imágenes didácticas que muestran entonces cómo los grumos se colocarían en las lagunas de la región antipodal.
Este sistema de recubrimiento de dos hojas puede extenderse a tres y hasta cuatro dimensiones, con esferas S3 y S4, recubriendo respectivamente los proyectivos P3 y P4.
Antes de seguir adelante, podemos familiarizar al lector con la geometría de esta extraña superficie de Boy. Asimismo, podrá encontrar diversas variantes del objeto en el Topologicon (Ed. Belin, 1984).
Lo que puede sorprender al lector es el hecho de que esta superficie se intersecta a sí misma según un conjunto de auto-intersecciones que forma una curva trifoliada, que recuerda una hélice de barco:
En este dibujo, a la izquierda, se ha dejado una abertura para mostrar el punto triple, donde se cruzan tres hojas. Esta superficie parece muy particular. De hecho, este objeto es un excelente ejemplo que permite ilustrar el concepto de espacio de representación (3D) mencionado anteriormente.
El punto triple T y la curva de auto-intersección se deben únicamente al modo de representación del proyectivo P2 en R3. Una esfera, un toro, pueden inmersos en R3, es decir, prestarse a representaciones topológicamente equivalentes en las que la superficie no se corta a sí misma. Pero es imposible inmersar el proyectivo P2 en R3. Solo se puede inmersarlo. El dibujo anterior (la superficie de Boy) es, por tanto, una inmersión del proyectivo en R3. Una inmersión de un objeto 2D es un modo de representación en R3 donde se encuentra una línea de puntos dobles (la curva de auto-intersección), a lo largo de la cual se encuentran dos planos tangentes, más un cierto número de puntos triples donde tres hojas se cortan. La superficie de Boy es solo una entre infinitas formas de inmersión del proyectivo P2 en R3. Otras se encontrarán en un artículo que se incluirá en el sitio, titulado "las diferentes caras del plano proyectivo".
Es bastante sencillo obtener imágenes de la superficie de Boy a través de una representación paramétrica que hemos inventado y publicado.
---> El lector encontrará en el sub-sitio MATEMÁTICAS, entre otros, la reproducción de la nota publicada en 1981 en la Academia de Ciencias de París, con J. Souriau (no, no es el famoso matemático, sino uno de sus hijos, Jérôme, que más tarde se convirtió en informático), cuya referencia es:
"La representación analítica de la superficie de Boy", Nota en los Comptes rendus de l'Académie des Sciences de París, tomo 293 (5 de octubre de 1981), serie 1, pp. 269-272
Allí se muestra que la superficie posee entonces meridianos elípticos. Esta propiedad permite trazarla fácilmente. A continuación, el programa que aparece en la página de portada de mi cómic Topologicon.
Programa BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN(6*MU - P3)
110 E = 6.732SIN(3MU - P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN(P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR(AA + BB) : C3 = (4DE)/C2
160 CM = COS(MU) : SM = SIN(MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS(TE) : TS = B * SIN(TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM AQUÍ ESTÁN LAS 3 COORDENADAS
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM INSTRUCCIÓN PARA MOSTRAR LOS PUNTOS
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
Para memoria, fue este descubrimiento de la posibilidad de representar esta superficie mediante meridianos elípticos lo que permitió posteriormente al matemático Apéry obtener la primera representación en forma implícita, de sexto grado:
f(x, y, z) = 0
que no reproduciremos (es bastante complicada, y estamos convencidos de que debe existir una más simple, pero esto será objeto de otro documento que se incluirá en el sitio MATEMÁTICAS).
La botella de Klein es más conocida por los lectores. También es imposible inmersarla en R3. Entonces, en su forma más clásica, aparece como una inmersión con un conjunto de intersección que es una simple curva cerrada.
El recubrimiento de dos hojas de la superficie de Klein es un toro T2, al igual que el recubrimiento de la superficie de Boy (proyectivo P2) es una esfera S2. El lector interesado en la superficie de Boy podrá encontrar una maqueta 3D en una de las salas del Palacio de la Descubierta de París, maqueta que hicimos fabricar por el escultor Max Sauze a partir de un modelo más rústico que habíamos realizado.
En estas operaciones de recubrimiento de dos hojas, los meridianos y paralelos de los objetos "se enrollan sobre sí mismos". Por ejemplo, se puede mostrar qué ocurre con los "paralelos" del toro (relacionados también con la representación inmersa):
En este inmersión del toro, las curvas paralelas obviamente no son geodésicas de la superficie (salvo el "círculo del cuello"). Situación análoga para los meridianos del toro, que son geodésicas de su inmersión...