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Grupo de traslaciones:
...Consideremos el espacio 2D (x,y). En este espacio, una traslación corresponde al par de escalares (Δx, Δy), y es costumbre escribir:
x' = x + Δx
y' = y + Δy
Entonces se utiliza la suma. ¿Sería posible encontrar una manera de codificar la traslación mediante una... multiplicación?
Consideremos las matrices:
y la acción del grupo:
Observamos que ya no se trata de la simple multiplicación matricial g × r, sino de la acción del grupo:
Podemos, de paso, considerar traslaciones en tres, cuatro dimensiones y más:
La acción del grupo correspondiente es entonces:
...Adicionalmente, el grupo de traslaciones es conmutativo y el elemento neutro es "la traslación nula". En 3D, la dimensión del grupo es tres; en 4D, es cuatro.
Interés de los grupos matriciales. Ejemplo: el grupo euclidiano.
...El interés de un grupo matricial es que permite manejar simultáneamente varias cosas que hasta ahora parecían de naturalezas diferentes, por ejemplo rotación y traslación. Basta entonces considerar las matrices:
y hacer actuar la matriz, elemento del grupo, sobre el vector columna para comprobar que esto equivale a la combinación de una rotación de ángulo α y una traslación según el vector (Δx, Δy).
...Como se observa, la matriz g no actúa "directamente" sobre los puntos (x,y) de este espacio 2D, sino a través de lo que se denomina una "acción del grupo", que obedece a ciertos axiomas.
...Así, un grupo "actúa" y "transporta", en este caso puntos. Se trata del grupo euclidiano. Relacionado con un espacio 2D (x,y), este grupo está definido por tres parámetros. Es g(α, Δx, Δy): la dimensión de este grupo es 3. En particular:
g(0, Δx, Δy) representa el subgrupo de las traslaciones.
g(α, 0, 0) representa el subgrupo de las rotaciones alrededor del origen.
g(0, Δx, 0) representa el subgrupo de las traslaciones paralelas a una recta (el eje OX).
...El grupo euclidiano transporta puntos que, por sí mismos, no poseen atributos (a diferencia de los grupos de la dinámica, que otorgan a un simple "punto material" atributos llamados masa, energía, momento, espín).
...Con el grupo euclidiano se ve obligado a considerar conjuntos de puntos. Como si, en química, los átomos no fueran distinguibles entre sí y solo la geometría de los ensamblajes moleculares portara información.
...Una figura geométrica, triángulo (considerado como un conjunto de tres puntos o tres segmentos), cuadrado (considerado como un conjunto de cuatro puntos o cuatro segmentos), puede ser transportada por el grupo. Aquí surge la idea fundamental de "especie". Dos "objetos" se consideran de la misma especie si existe un elemento del grupo que permita llevar uno sobre el otro.
Frente al grupo euclidiano, los cuadrados con el mismo lado a forman una especie:
Cuadrados de la misma especie.
...Si los lados a y b son diferentes, estos objetos no pertenecen a la misma especie. No existe un elemento del grupo que permita pasar de uno al otro.
Frente al grupo euclidiano, estos cuadrados no forman la misma especie.
Euclides no permite las homotecias. Para poder manejarlas, habría que pasar a otro grupo, el de Descartes:
grupo de cuatro parámetros
g(λ, α, Δx, Δy),
donde λ es un coeficiente de homotecia. Por tanto, la dimensión de este grupo es 4.
A partir de aquí, se puede imaginar fácilmente que exista un grupo euclidiano actuando sobre objetos en tres dimensiones.
...No se trata de lanzarse en un curso completo sobre grupos, sino de captar algunas ideas. ¿Qué es la zoología? Una ciencia que consiste en estudiar los animales y clasificarlos. Si nos limitamos a la forma, el grupo euclidiano permite clasificar conejos adultos. Habría que recurrir al grupo de Descartes para poder clasificar en la misma especie conejos de distintos tamaños, ya que no existe un elemento del grupo euclidiano (3D) que permita pasar de un conejo pequeño a uno grande.
...¿Sonríes? Tienes razón. Tal vez en tu apartamento o casa tengas un bebé en proceso de aprendizaje, que juega en una esquina. Le has dado un juguete clásico y él se esfuerza por introducir en una especie de caja de formas: cilindros, cubos o prismas con base triangular.
...¿Qué está haciendo? Se familiariza con el grupo euclidiano en 3D. Clasifica objetos por especies, lo que le permitirá más adelante reconocerlos, realizar una "reconocimiento de formas".
...Aunque sean de colores diferentes, el bebé comprueba que existen acciones del grupo (transportes de estos objetos en el espacio 3D) que permiten alinear el cilindro A y el cilindro B, utilizando el corte que es la "forma hueca" de ese cilindro o prisma: la entrada que conduce al compartimento de su caja de clasificación. Así aprenderá que estos cilindros A y B, respecto al criterio forma (grupo euclidiano), pertenecen a la misma especie.
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