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Una matriz cuadrada de rango (n,n) actúa sobre un vector columna (n,0). Ya hemos visto que el grupo euclidiano 2D, referido a un espacio (x,y), no implica acciones sobre vectores columna:
(51)
sino sobre vectores columna:
(52)
Lo cual representa un ejemplo
de acción
del
grupo sobre un espacio
Xcon
x X
. . Existe una infinidad de acciones posibles, incluso el propio grupo actuando sobre sí mismo. Las acciones están definidas por unos axiomas.
(53)
Considerando el vector columna:
(54)
donde
x
representa, por ejemplo, los vectores:
(55)
(56)
que verifican los axiomas de la acción del grupo. Entonces se puede realizar una multiplicación a la izquierda de la matriz cuadrada que representa el elemento del grupo, con una matriz fila
y
, preguntándose si también constituye una acción.
(57)
A g (y) = y x g
La respuesta es no. No se trata de una acción del grupo: no satisface los axiomas dados anteriormente. Es entonces lo que yo llamo una "antiacción", obedeciendo a los siguientes "anti-axiomas":
(58)
El matemático dirá que no hay necesidad alguna de invocar estas "antiacciones" y que basta con un único conjunto de axiomas. Cierto. De la misma manera, lo que se considera como una antiacción:
(59)
AA g (m) = g⁻¹ x m x g
siendo m un vector dado, una "antiacción del elemento
g
del grupo G sobre la matriz
m
", donde
g⁻¹
denota la matriz inversa, puede tratarse como una acción del elemento
g⁻¹
. De igual modo, una "antiacción" no es más que la dual de una acción. Digamos que me pareció conveniente introducir este concepto por razones didácticas.
A partir de un grupo de matrices cuadradas, dependiente de n parámetros
p i
, se pueden construir matrices diferenciando todos estos parámetros según:
dp i
. Las matrices así obtenidas, repletas de elementos
dp i
, no constituyen un grupo, sino lo que se denomina el "vector tangente al grupo":
d g
(su "álgebra de Lie", que por cierto tampoco es verdaderamente un álgebra, pero pasemos por alto eso).
El grupo puede entonces actuar sobre el "vector tangente"
d g
, en las proximidades del elemento neutro e del grupo, mediante la "antiacción":
(60)
AA g (m) = g⁻¹ x d g (g=e) x g
Así obtenemos el esquema:
(61)
Pero una antiacción es la dual de una acción. Y cuando hay dualidad, se conserva un producto escalar S.
Souriau, por tanto, buscó construir una segunda acción del grupo, la del grupo sobre su espacio de momentos. Pero esta acción, denominada acción coadjunta o esencial, no podía surgir directamente. Tuvo que pasar por este intermediario que yo llamo "la antiacción del grupo sobre su vector tangente".
Así, la acción buscada emerge como la dual de la antiacción del grupo sobre su vector tangente. Y la dual de una antiacción es una acción, que se escribirá como:
(62)
A g (J)
donde
Jserá el "momento": una constelación de cantidades que son atributos de un "punto material", la acción en cuestión, denominada coadjunta, muestra cómo estos atributos cambian durante el movimiento.
Existe un grupo, que se dará más adelante, que es una extensión del grupo de Galileo, también dado más adelante, y que se llama grupo de Bargmann (1960). Al aplicar este método a este grupo, se puede construir su momento
J B
y la manera en que el grupo actúa sobre él.
Souriau suele decir:
El momento sigue al movimiento como su sombra.
Hermosa imagen, tomada de su obra "Gramática de la Naturaleza". El punto material efectivamente se mueve en el espacio-tiempo (x,y,z,t). Al hacerlo, sus atributos evolucionan, lo cual se describe mediante esta acción coadjunta del grupo sobre su espacio de momentos.
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