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No vamos a escribir las componentes del momento del grupo de Bargmann. Esquemáticamente escribimos el momento del grupo de Bargmann como a continuación:
JB = { un escalar m, más las otras componentes del momento }
La acción coadunta
indica cómo se transforman las diferentes componentes del momento. Pero esta acción coadunta comienza con la relación simple:
(63)
m' = m
La acción coadunta del grupo de Bargmann sobre su momento comienza conservando la masa, que así adquiere un
estatuto puramente geométrico
.
Construcción de la acción coadunta del grupo de Poincaré sobre su espacio de momentos Jp.
Si ya estás completamente perdido, olvídalo. Es normal y va a volverse cada vez más difícil a medida que avances en las páginas. Ya no sé muy bien a quién va dirigido lo que sigue. Probablemente a físicos teóricos o a matemáticos, pero probablemente no a fontaneros o carpinteros. Pero un estudiante de una Gran Escuela o de licenciatura en física, que se aferrará, podrá seguir. Son simplemente matrices.
Todo comienza con un grupo de matrices de tamaño (4,4) que constituyen el grupo de Lorentz, cuyo elemento es L.
Estos se definen axiomáticamente a partir de una matriz G:
(64)
según:
(65)
t L G L = G
haciendo intervenir la traspuesta de la matriz L.
Las matrices L forman un grupo.
Demostración.
El elemento neutro es L = 1:
Sean L1 y L2 dos elementos del conjunto. Verifiquemos que el producto L1 L2 pertenece al grupo. Si es así:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
Pero:
t (AB) = t B t A
Por lo tanto:
t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
Calculamos luego la inversa de la matriz L. Partimos de la definición axiomática de los elementos L:
t L G L = G
Multiplicamos a la derecha por L-1:
t L G L L-1 = G L-1 t L G = G L-1
Multiplicamos a la izquierda por G:
G t L G = G G L-1 G t L G = L-1
Por lo tanto, la matriz inversa de L es:
L-1 = G t L G
Es decir:
(66)
el vector espacio-tiempo. La matriz G proviene de la métrica de Minkowski, que entonces se puede escribir (con c = 1):
(67)
Ejercicio: demostrar que la matriz inversa obedece a:
(68)
Introducimos entonces un vector de traslación espacio-temporal:
(69)
A partir del cual construimos el elemento gp del grupo de Poincaré:
(70)
Ejercicio: demostrar que esto forma un grupo y calcular la matriz inversa:
(71)
A continuación, el "vector tangente al grupo, elemento de su 'Álgebra de Lie'":
(72)
A partir de esto, calcularemos la anti-acción:
(73)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
Por comodidad de cálculo, observamos que:
(74)
G dL es una matriz antisimétrica. Llamémosla:
(75)
por lo tanto:
(76)
Sea:
(77)
A partir de este material, constituiremos la anti-acción:
(78)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
Una vez hecho el cálculo, obtendremos la aplicación:
(79)
Si quieres saltarte esta parte de simple cálculo matricial, ve a la ecuación (80), al final de la página
(79a)
(79b)
de donde los elementos de la anti-acción son:
(79c)
pero:
(79d)
por lo tanto:
(79e)
pero GG = 1
por lo tanto:
(79f)
de donde obtenemos la aplicación:
(79g)
Esto constituye la anti-acción buscada, la aplicación:
(80)
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