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Un elemento
g
p del grupo de Poincaré
Gp está definido por una secuencia de parámetros {
p
i},
cuyo número, como ya dijimos, representa la
dimensión del grupo
. La matriz
d g
(g = e)
está constituida por las cantidades
{
dp
i} . Por lo tanto, la aplicación
anterior es del tipo:
(81)
En otras palabras, a un conjunto de escalares
dp
i
se le asigna un número igual de escalares
dp
i
'.
La dualidad consiste en postular la invariancia
de un escalar, según:
(82)
n siendo la dimensión del grupo (diez, para el grupo
de Poincaré). Los escalares Ji representan las componentes
del momento, del mismo número.
Decidiremos descomponer este momento
Jen dos objetos. El primero será una matriz
Mantisimétrica
de formato (4,4), por lo tanto con seis componentes, y el segundo un "cuadri-vector"
P, matriz de formato (4,1) :
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Escribiremos el producto escalar en la forma
:
(85)
Tr significando "traza de", y tendremos aún:
(86)
forma lineal cuya invariancia asegura la dualidad.
con:
(87)
(87b)
(87c)
pero
GG
= 1
por lo tanto esto vale:
(88)
Identifiquemos los términos en
y (89)
Es decir:
(90)
----> Allí también siguen detalles de cálculo
matricial. Si lo desea,
haciendo clic aquí
puede ir directamente al resultado
En la traza se puede realizar una permutación circular
de los términos.
(90a)
(90b)
(90c)
el segundo término del segundo miembro es igual al producto de una
matriz fila por una matriz columna.
Esto es igual a la traza del producto invertido
(a continuación, esquemáticamente, el producto de una matriz fila por
una matriz columna):
(90d)
En esta traza, puedo realizar una permutación
circular:
(90e)
De donde:
(90f)
(90g)
Aquí aplicaremos nuevamente el teorema
sobre las trazas de las matrices que son el producto de otra matriz por una
matriz simétrica.
Toda matriz puede ser simetrizada
o antisimetrizada. Además, la traza del producto de una matriz
por una matriz simétrica es nula.
(90h)
Puedo aplicar esto a la matriz (90i)
ya que se toma la traza
(90j)
(90k) = sim ( ) + antisim ( )
pero:
(90l)
por lo tanto
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
y:
(90q)
finalmente:
(90r)
Agrupando y cambiando los primos de lado
obtengo mi acción de grupo:
Imágenes
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y física"