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(91)
Esta acción coadjunta puede escribirse en forma matricial.
La matriz del grupo de Poincaré es:
(92)
su transpuesta es:
(93)
Consideremos la matriz:
(94)
Es decir, vamos a poner el momento
(95)
Jp = {M, P}
en forma matricial y formemos el producto:
(96)
(97)
(98)
que puedo identificar con la matriz:
(99)
Por lo tanto, Jp es el momento del grupo de Poincaré, expresado en forma matricial. Y la acción coadjunta se escribe:
(100)
A título de ejercicio, el lector podrá verificar, basándose en los axiomas, que se trata efectivamente de una acción.
El momento del grupo de Poincaré puede explicitarse de la siguiente manera:
(101)
Esta matriz es antisimétrica (lo que implica que su diagonal principal está formada por ceros).
M es la matriz:
(102)
Explicitemos:
(103)
Es efectivamente una matriz antisimétrica, hipótesis formulada desde el principio, que depende de seis parámetros:
(104)
(lx, ly, lz, fx, fy, fz)
Los tres últimos (fx, fy, fz) son las componentes de un vector, el vector-paso f:
(105)
Los tres primeros (lx, ly, lz) son las componentes independientes de una matriz antisimétrica (3,3), el giro l:
(106)
Así:
(107)
El vector P es el cuadrivector impulso-energía:
(108)
Entonces podemos explicitar el momento del grupo de Poincaré en toda su generalidad:
(109)
Verificamos que se trata efectivamente de un objeto con diez componentes (número igual al de las dimensiones del grupo).
(110)
Jp = {E, px, py, pz, fx, fy, fz, lx, ly, lz} = {E, p, f, l}
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