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Partículas de espín con masa no nula.
Ya no existe una relación directa entre energía e impulso, como ocurre con los fotones y los neutrinos, partículas sin masa.
(131)
siendo m la masa en reposo, que coincide entonces con la masa emergente del grupo de Bargmann, se tiene:
(132a)
(132b)
Limitémonos a:
Protón
Electrón
Neutrón
y sus antipartículas.
Las partículas poseen distintas cargas, atributos, que tampoco emergen del grupo de Poincaré:
-
Carga eléctrica e = ± 1
-
Carga bariónica cB = ± 1
-
Carga leptónica cL = ± 1
-
Carga muónica cm = ± 1
-
Carga tauónica ct = ± 1
-
El coeficiente giromagnético
v
La inversión de todas estas cantidades corresponde a la simetría C. Por lo tanto, podemos agrupar todo esto según la tabla siguiente:
(133)
que puede adoptar cualquier orientación, al igual que el espín.
El momento magnético es igual al coeficiente giromagnético
v
multiplicado por el espín
s
.
(134)
Aquí hemos usado una letra en negrita
s
para el espín. Esto significa que la dirección del espín de las partículas puede ser cualquiera. Sin embargo, su módulo es una de sus características y es fundamentalmente invariante (cuantización geométrica del giro de las partículas).
La simetría C, la conjugación de cargas, que invierte el coeficiente giromagnético
v
, también invierte el momento magnético. El espín permanece sin cambios.
Imanes permanentes.
Si colocamos un trozo de hierro suave en un campo magnético lo suficientemente intenso y luego reducimos dicho campo, el metal conservará una imantación permanente. ¿Qué ha ocurrido?
El campo magnético alinea los espines de los electrones, que se comportan como pequeños imanes, pequeños dipolos magnéticos.
Pero ¿por qué conservan entonces la dirección que se les ha impuesto? Por imitación. Cada electrón se alinea según el campo magnético creado por sus vecinos. Y, al hacer lo mismo los demás, todos estos momentos conservan su paralelismo. Es como el "Panurge espacial". A menos que calentemos el trozo de metal o lo golpeemos, en cuyo caso acabaremos perturbando esta hermosa ordenación electrónica.
Momento magnético de la antimateria.
La conjugación de carga, relacionada con la transformación materia-antimateria en el sentido de Dirac (veremos más adelante lo que esto significa), implica la inversión del momento magnético debido a la inversión del coeficiente giromagnético, mientras el espín permanece inalterado.
Naturalmente, esta simetría C no modifica ni la energía ni el impulso de la partícula.
Las cuatro componentes del grupo de Lorentz.
Como se ha visto, el elemento
Ldel grupo de Lorentz L está definido axiomáticamente. Debe cumplir:
(135)
(136)
Toda matriz
Lque cumpla esta definición forma parte del grupo L. Se trata de una matriz de dimensión (4,4), que puede, por ejemplo, actuar sobre:
(137)
es decir, sobre el espacio-tiempo. Entonces, podemos preguntarnos si estas matrices no serían susceptibles de realizar simetrías en este espacio. ¿No podríamos, por ejemplo, cambiar x por -x? ¿No podrían clasificarse estas matrices en diferentes subconjuntos, unas que realicen esta operación y otras que no?
Hace mucho tiempo (en inglés, many beautiful candles ago), se exploró todo esto y se demostró que el grupo de Lorentz está compuesto en realidad por cuatro tipos de matrices.
Ln — Aquellas que no invierten ni el espacio ni el tiempo.
Ls — Aquella que invierte el espacio.
Lt — Aquellas que invierten el tiempo.
Lst — Aquellas que invierten ambos.
A estos conjuntos se les llama
componentes
de un grupo. Por lo tanto, el grupo de Lorentz es un grupo con cuatro componentes.
Inmediatamente podemos producir cuatro matrices, cada una perteneciente al subconjunto mencionado:
(138)
A n = 1
(elemento neutro), pertenece a
Ln: no invierte ni el espacio ni el tiempo.
A s
pertenece a
Ls: invierte el espacio.
A t
pertenece a
Lt: invierte el tiempo.
Ast
pertenece a
Lst: invierte tanto el espacio como el tiempo.
Para formar un grupo (en este caso un subgrupo del grupo de Lorentz), un conjunto de matrices debe contener el elemento neutro
1
en el formato (n,n) considerado, aquí: (4,4). Solo las matrices del conjunto Ln cumplen este criterio. Forman un
subgrupo del grupo de Lorentz
. Como este conjunto contiene el elemento neutro del grupo, también se le llama
la componente neutra del grupo
. Los demás conjuntos de matrices no constituyen subgrupos (imposible: no contienen el elemento neutro).
Observación:
(139)
At = - A s
Ast = - A n
Entonces podemos considerar el conjunto Lo = Ln
»
Ls, que es un subgrupo del grupo de Lorentz y al que llamaremos
ortocrono
[1]. Las matrices Lac = Lt
»
Lst no constituyen un grupo, pero el conjunto de las componentes relacionadas con la inversión del tiempo se llama
anticrono
[12]. El grupo de Lorentz completo es:
(140)
L = Lo
»
Lac
Pero también podemos observar que el elemento:
(141)
m L
o, con
m
= ± 1
cubre todo el grupo.
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