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Aplicación a lo anterior:
(197)
Se ha utilizado la propiedad evidente: la transpuesta de la transpuesta de una matriz es la matriz original.
Por tanto, globalmente:
(198)
Si tomo una partícula con masa no nula, siempre puedo decirme que la he cogido del árbol del conocimiento de los estados en reposo y en movimiento, con impulso nulo.
He visto que también puedo arreglármelas para anular el paso, situándome en un sistema de referencia que "acompaña a la partícula en su movimiento".
(199)
No podría tomar una partícula con energía en reposo E₀ nula. Eso no tendría sentido físico. Pero también sé, o debo saber, que una partícula no puede tener un giro (espín) nulo, incluso en un hipotético estado de reposo. Además, no solo existe siempre este giro, o "vector espín", sino que su módulo s es invariante, de hecho, es una característica de la partícula. Es un múltiplo semientero de h/2π, la constante de Planck reducida. También es una consecuencia de la "cuantificación geométrica" inventada por Souriau.
Siempre de la geometría...
Estos "atributos" son un poco más desconcertantes que los atributos no relativistas mencionados anteriormente.
Pero hay que notar que esta "cuantificación geométrica" también se aplica al mundo no relativista (grupo de Bargmann), cuantificando el giro, el momento cinético individual, la "vorticidad", el espín, sin importar el nombre que se le dé, de la partícula, de la masa puntual, del objeto, del ente manejado por el grupo. Puede cambiar de dirección, pero:
¡No toques mi módulo s!
Todo esto pasa por una variable adicional z, considerada por algunos teóricos y matemáticos como "un intermediario de cálculo".
Dicho esto, en este espacio de cinco dimensiones:
z, x, y, z, t
nos desplazamos, nos movemos.
Hay cosas que no plantean problema, como:
x → -x
y → -y
z → -z
lo cual corresponde a una simetría P. Si se aplica no a un objeto puntual, sino a un conjunto de puntos unidos, las estructuras se transforman en sus enantiómeros, en sus imágenes especulares. Pero para una partícula aislada, se trata simplemente de un "otro movimiento".
Manteniéndonos siempre en el espacio de 5 dimensiones, hemos visto que se han destacado ciertos atributos.
En no relativista:
- La masa m
- La energía E
En relativista:
- E y m entrelazados mutuamente en una misma entidad.
Son simples escalares. El matemático diría que pueden elegirse tanto positivos como negativos. Son simplemente elecciones realizadas en un espacio de momentos particular, constituyendo el espacio de momentos, dependiente de n parámetros (n igual a la dimensión del grupo). En el momento asociado al grupo de Poincaré (no extendido):
(200)
Jₚ = {E, p, M}
los parámetros pueden, a priori, tomar cualquier valor posible, positivo o negativo.
Sea J el conjunto de parámetros que define el momento. J es el espacio de momentos. En este espacio deberíamos poder distinguir entonces dos dominios:
(201)
El grupo "domina" este espacio y asegura los diversos desplazamientos. Contiene así elementos que permiten transformar unos movimientos en otros. Como dice Souriau:
El momento sigue al movimiento como su sombra.
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