Souriau vive en un apartamento en el viejo Aix. La puerta que da a la calle es espléndida. En la entrada hay aparcado un vehículo bastante singular: una silla de manos, de época, que pertenece a la propietaria de las instalaciones, una señorita, arqueóloga, creo. La silla está contra la pared. Solo falta encontrar dos portadores, introducir los dos largos postes de madera en los anillos y tomar asiento para dar un paseo. Las aberturas están vidriadas: los cristales laterales se pueden bajar, no con un volante, sino moviendo correas de cuero, como era el caso en los compartimentos de los ferrocarriles de mi infancia.
Como todo esto inspira sueños. Me doy cuenta de que nunca he hecho una silla de manos. Estoy convencido, en estos tiempos de desempleo, que podrían ganarse la vida montando la primera línea regular de sillas de manos en el viejo Aix. Bastaría con construir un vehículo que imitara las sillas antiguas. No debe ser muy difícil. Luego, conseguir dos trajes bordados, dos pelucas y a delante. Trayecto: el Cours Mirabeau. Eso bastaría ampliamente. Después, bastaría soñar, tener un poco de imaginación.
Jean-Marie vive solo con su gato, Pioum, en su amplio apartamento, lleno de dorados, de yesos. Pioum es encantador. Sin embargo, no tengo mucha atracción por los gatos. Pero éste es extremadamente acogedor y cariñoso.
Trabajamos generalmente en la cocina, un piso más arriba. Una pequeña habitación, bajo los techos, cuya estrechez contrasta con el tamaño imponente de las habitaciones de abajo. Cada vez que Jean-Marie intenta no hacerme beber su bebida favorita: el Fernet-Branca, a base de alcachofa, que encuentro positivamente abominable, pero al que le atribuye todas las virtudes.
Cuando da un paseo por la ciudad, lleva su GPS, que nunca lo abandona. Es efectivamente bastante fascinante verse guiado por satélites situados a cuarenta mil kilómetros de la calle donde uno camina. Para tener mejor recepción, Souriau tiende a caminar en el eje de la calle, con la mirada fija en la pantalla de cristal líquido. Efectivo, parece, pero aún así relativamente peligroso.
Encuentro que nos divertimos bien, los dos. Una noche de diciembre, pasé a visitarlo, y esto dio lugar a la siguiente conversación.
-
Voy a hablarte de grupos. ¿Te acuerdas de los axiomas?
-
Sí, hay seis. Son:
1 - Existen elementos
a
,
b
,
c
... pertenecientes a un conjunto E
2 - Existe una operación interna, notada o ("círculo"), que permite combinar dos elementos de un conjunto.
a
pertenece al conjunto E
b
pertenece al conjunto E
a o b
pertenece al conjunto E
3 - Esta operación es asociativa:
a o b o c
= (
a o b
) o
c = a
o (
b o c ) 4 - Existe un elemento neutro
e
tal que:
a o e = e o a = a 5 - Todo elemento a del conjunto tiene un recíproco, notado
a -1
, tal que:
a -1 o a = a o = e
¿Eso hace cinco?
-
Finalmente, cinco, o cuatro, o uno. No hay una regla absoluta en cuanto a la numeración de los axiomas. Se podría también agrupar los axiomas 1 y 2 en uno solo:
-
Existen elementos
a
,
b
,
c
, etc., pertenecientes a un conjunto E, dotado de una ley de composición interna que satisface:
a
pertenece al conjunto E
b
pertenece al conjunto E
a o b
pertenece al conjunto E
es equivalente.
-
Bien, cinco, cuatro, da igual. ¿A dónde quieres llegar?
-
Voy a hacer desaparecer lo que habías llamado los axiomas 4 y 5, definiendo el elemento neutro y el recíproco, reemplazándolos por el axioma del sándwich. En total, los axiomas son:
1 - Existen elementos
a
,
b
,
c
... pertenecientes a un conjunto E
2 - Existe una operación interna, notada o ("círculo"), que permite combinar dos elementos de un conjunto.
a
pertenece al conjunto E
b
pertenece al conjunto E
a o b
pertenece al conjunto E
3 - Esta operación es asociativa:
a o b o c
= (
a o b
) o
c = a
o (
b o c ) 4 - Sean tres elementos
a
,
b
,
c
, pertenecientes al conjunto E.
Sea la ecuación:
a o y o b = c
Tiene una solución única.
Es lo que llamo el axioma del sándwich donde el "jamón"
y
está tomado entre los elementos
a
y
b
,
c
siendo la entidad del sándwich. El axioma significa:
Siempre se puede sacar el jamón de un sándwich.
Y digo que estos axiomas definen los grupos, son equivalentes a los anteriores.
- Esta solución única
y
es un elemento del conjunto E, ya que la operación es interna y asociativa.
-
Por supuesto, eso va sin decir.
-
Pero va mejor diciéndolo. No sé cómo vas a hacer para recuperar los dos axiomas que se refieren al elemento neutro y a la existencia del recíproco, pero al menos entiendo lo que te llevó a tener esa idea.
-
Me dije "¿Para qué sirve?"
-
Exactamente. ¿Para qué sirve disponer de un elemento neutro? Tal cual, significa "si tengo un conjunto E, y un elemento neutro, puedo componer todos los elementos de este conjunto con éste y obtener lo mismo". Me da igual. Del mismo modo, ¿para qué sirve el inverso en sí mismo? Cuando se hacen cálculos sobre grupos, sobre cualquier cosa, siempre se arregla, con multiplicaciones a la derecha o a la izquierda por elementos o su inverso para hacer aparecer
a o a -1
o
a -1 o a
, que se reemplazan por
e
, luego
b o e
o
e o b
que se reemplazan por
b
. Tu axioma del sándwich es "funcional".
- Si quieres. Pasemos a los teoremas que se derivan del axioma del sándwich. El primero es:
I - Existe un elemento neutro que, compuesto consigo mismo, da a sí mismo:
e = e o e
II - Este elemento neutro es único.
Demostración:
Partamos del axioma del sándwich. La ecuación
a o y o b = c
tiene una solución
y
única.
También es cierto si
b = c = a
por lo tanto
a o y o a = a
tiene una solución única. Multiplicamos a la derecha por
y
:
a o y o a o y = a o y
Llamemos
a o y = e
Es un elemento del conjunto, ya que
a
y
y
pertenecen al conjunto y la operación es interna. Por lo tanto existe un elemento del conjunto tal que:
e o e = e
El teorema I está demostrado. Pasemos a la unicidad, al teorema II. Si no hubiera unicidad, existiría otro elemento del conjunto, llamémoslo
f
, que obedecería a:
f o f = f
Tenemos:
e o e = e
Multiplicamos a la derecha por
f
:
e o e o f = e o f
Re-multiplicamos a la derecha por
e
:
e o e o f o e = e o f o e
Utilizamos la asociatividad:
e
o (
e o f
) o
e = e o f o e
Esto son dos sándwiches. Llámalos:
p = e
o (
e o f ) q = e o f o e
Según el axioma del sándwich, se puede "extraer el jamón", es decir calcular las expresiones de (
e o f
) y
f
que serán iguales, ya que
p = q
. Por lo tanto:
( e o f
) =
f
Repetimos partiendo de la proposición atribuida a este segundo elemento
f
:
f o f = f
Multiplicamos a la derecha por
e
, dos veces a la izquierda:
e o f o f = e o f e o e o f o f = e o e o f
Utilizamos la asociatividad:
e
o (
e o f
) o
f = e o e o f
Utilizando una segunda vez el axioma del sándwich, deducimos que:
e o f = e
por lo tanto:
e = f
Teorema III: Si tomo este elemento
e
"igual a su cuadrado", implica que
a o e = a
Demostración:
Se utiliza...