Cómo transformar una superficie Cross Cap
en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección)
pasando por la superficie romana de Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, universidad de Roma
27 de septiembre
- 25 de octubre de 2003
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Esto, como diría Kipling, requiere
"gran astucia y fuerza mágica".
Soy jubilado, pero me atrevo a decirlo:
siempre hago un poco de investigación "a pesar de mí", como otros, en su
tiempo libre, hacen punto. Si tienen paciencia y consiguen cartulinas Bristol de 200 gr. cuadriculadas, podrán reconstruir ustedes mismos todos estos
modelos. Mi amigo Christophe Tardy está construyendo, a partir de ellos,
una animación que no debería salir mal.
La superficie Cross Cap aparecerá en
los dibujos que siguen, así como la superficie romana de Steiner. Pero pueden
descubrirlas yendo a la sección
Realidad Virtual
,
para la cual es necesario descargar el programa Cosmoplayer en su
ordenador. Háganlo, es realmente bonito. Todo gira en torno a los "puntos
cúspides". Estos puntos se forman de forma natural cuando montas a caballo y aprietas fuertemente las piernas. El cuerpo del caballo quedará entonces comprimido a lo largo de un segmento. El muslo derecho se adherirá a lo largo de ese segmento a su hombro derecho, mientras que el muslo izquierdo se adherirá al hombro izquierdo. En cuanto al punto cúspide, no lo busquen: simplemente están sentados encima.
Mas todo esto está dibujado... redondeado.
Pasemos a una "representación poliédrica" del punto cúspide
(así como un cubo o un tetraedro pueden considerarse representaciones
poliédricas de una simple esfera). La línea en negrita representa la
"curva de autointersección", que termina en el punto cúspide
C.
Impresionen estas láminas, es mejor. En
adelante les servirá reconocer un punto cúspide en "configuraciones
diferentes" y no confundirlo con un simple vértice del poliedro. Construyan,
si se sienten con fuerzas, estos distintos objetos con cartón, comprenderán mejor.
Aquí abajo tenemos una operación esencial, llamada "creación-descomposición
de un par de puntos cúspides". El primer dibujo representa una especie
de cilindro que se autointerseca a lo largo del segmento dibujado en negrita,
cuya sección recuerda a la letra griega gamma, invertida. Deformamos entonces
esta superficie "apretando" el tubo cuya sección se parece
a una "lágrima invertida". Haciendo esto, hacemos degenerar esta
"lágrima" en un punto
S. A continuación, este punto se divide
dando lugar a dos puntos cúspides. Esta es la operación de creación de un
par de puntos cúspides. La operación opuesta, por el contrario, destruye dos
puntos cúspides. Justo debajo tienen la versión poliédrica de esta operación.
Aquí abajo encontramos otra representación
poliédrica de la transformación, que se parece a lo que verán formarse
en la superficie en breve.
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