Cómo transformar una superficie Cross Cap
en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección)
pasando por la superficie romana de Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, universidad de Roma
27 de septiembre
- 25 de octubre de 2003
página 2
Aquí tenemos una "superficie Cross Cap"
(como la habrían descubierto en las imágenes de realidad virtual). Presenta
dos puntos cónicos que son vértices de una línea de autointersección. Se puede construir pellizcando un globo con pinzas para rulos.
Pero también pueden construirse representaciones poliédricas. La que aparece abajo
nos interesa especialmente.
En la tabla 4 se encuentra la cosa más
difícil de aprender. Me parece imposible que alguien entienda bien estos
objetos simplemente mirando las figuras. Construyan modelos. En pocas palabras, se tira el punto cónico
C 2
hacia "el interior de la superficie" (lo cual, por cierto, no tiene ningún sentido porque,
como habrán notado inmediatamente, la superficie Cross Cap es unilateral:
no tiene una cara exterior e interior). Al insistir, la superficie se "autotraza",
y el conjunto de autointersección se completa, suavizando un poco las cosas,
con una curva en forma de 8. Se ha creado, por cierto, un punto triple
T.
La superficie resulta más comprensible
en su forma poliédrica y, abajo, hemos ampliado ciertos elementos
para mostrar lo que nos induce a transformar este objeto en la superficie
romana de Steiner (véase la simulación de realidad virtual), cuya forma
poliédrica más sencilla consiste en ensamblar cuatro cubos (aquí se ven
solo tres).
Tabla 5: versión poliédrica a la izquierda,
redondeada a la derecha. La flecha pasa por el punto que vamos a "estrangular".
Más abajo, el inicio de la operación de estrangulación.
Tabla 6: el estrangulamiento se realiza
y crea un punto singular
B. De hecho, como lo estrangulamos
por ambos lados (para ahorrar tiempo), se forman dos puntos singulares
S1 y
S1, luego dos puntos cónicos. En este punto, sin cartulina
Bristol, tijeras y cinta adhesiva, están en problemas.
Tabla 7: aquí simplemente hemos hecho migrar
los diferentes puntos cónicos. Si el punto
C2 es "evidente",
seguramente tendrán más dificultad en identificar los puntos
C 3 y C
4 como cónicos. Y sin embargo están allí, en los extremos de una línea de
autointersección. Por encima del punto
C3 se encuentra simplemente lo que he llamado un "posicono", es decir, un punto en el que se concentra
curvatura positiva (un punto en el que se concentra curvatura negativa lo llamo "negacono"). Al deformar un poco este objeto,
se llega a la forma poliédrica de la superficie romana de Steiner (inventada
por Steiner en Roma; véase su ilustración en realidad virtual).
Así que el juego está hecho. Existen varios
tipos de superficies, según las reglas que uno imponga. Las superficies que no
se autointersecan se llaman "inmersiones" (de la esfera, o del toro
en
R3). Cuando en cambio se autointersecan pero el plano tangente
varía de forma continua sin degenerar, se llaman
inmersiones
. Por ejemplo: la botella de Klein, en su representación clásica. En
R 3
no existe una representación de la botella de Klein en forma de inmersión:
se autointerseca necesariamente. Las inmersiones poseen conjuntos de
autointersección
sin puntos cónicos. Estos conjuntos son curvas continuas,
pero pueden cruzarse en puntos dobles o triples. Observación: la esfera se
puede realizar en forma de inmersión (que no es una inmersión): haciendo que se autointerseque. De hecho, es el modo mediante el cual se logra darle la vuelta
(véase el método de A. Phillips, 1967, que tiene como paso central el doble cubrimiento de una superficie de Boy; y también véase B. Morin y J.P. Petit, 1979, en la que se toma como modelo central el modelo "de cuatro orejas" de Morin, cuya representación poliédrica que aquí se muestra fue inventada por mí hace una década aproximadamente).
Plano de montaje de este objeto con papel y tijeras
Si se amplían las reglas del juego
aceptando que estos objetos admitan también puntos cónicos, se obtienen
las
summersiones
(la Cross Cap, la superficie romana de Steiner).
No sé si "summersiones" es el término correcto, pero como no he encontrado
ningún matemático que me aclare las ideas al respecto, me pareció divertido
inventarme uno, provisionalmente, al menos hasta que aparezca un geómetra experto. Así, la superficie Cross Cap y la superficie romana de Steiner serían
summersiones del "plano proyectivo".
Para decírselo todo, después de veinticinco
años de actividad y mis desilusiones en materia de Magneto-Hidrodinámica, había
comenzado estos trabajos porque me parecían los más alejados posible de cualquier
aplicación militar. Pero, como me hizo notar mi viejo amigo Mihn, el término
"summersiones" podría prestarse a confusión y dar a entender a la Marina Militar que a través de estas investigaciones yo trataría de ocultar avances en materia de propulsión submarina.
La regla de "creación-escisión" de pares de puntos cónicos permite pasar de una summersion de un objeto a otra, y es lo que acabamos de hacer, mostrando que la Cross Cap y la superficie romana de Steiner son dos summersiones del mismo objeto, conocido como
plano proyectivo.
No intenten imaginarse un "plano proyectivo". Este objeto solo se puede comprender a través de varias
representaciones diferentes. En cuanto al término "proyectivo", no es más que uno entre los miles inventados por los matemáticos para desorientar a quienes quisieran penetrar en su círculo cerrado. El Zanichelli no les será de ninguna utilidad en matemáticas.
Queda por ver cómo pasar a la superficie de Boy, que es una inmersión del plano proyectivo
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