Cómo transformar una superficie Cross Cap
en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección)
pasando por la superficie romana de Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, universidad de Roma
27 de septiembre
- 25 de octubre de 2003
página 4
Presentamos el modelo desde otro punto de vista:
Tabla 14: repetimos siempre la misma operación, creando el tercer "oído" de la curva de autointersección. En el modelo poliédrico, este último tiene la forma de tres cuadrados con un vértice en común: el punto triple T.
Tabla 15: al girar el objeto, encontraréis la versión poliédrica de la superficie de Boy que presenté en el Topologicon (donde también podéis encontrar un plano de montaje que permite construirla).
Última tabla: he intentado ilustrar cómo la superficie de Steiner se retuerce y se transforma en superficie de Boy.
Vemos que, dibujada en "redondeado", se necesita bastante práctica para entenderla. Nuestro ojo se siente muy incómodo cuando se trata de comprender un objeto en el que, sobre una misma línea visual, se superponen más de dos hojas. De ahí el interés del modelo poliédrico, que pone al alcance de cualquiera, si se intenta construir los pequeños modelos uno mismo, transformaciones consideradas complejas en geometría. Observemos de paso que, según las parejas de puntos cónicos elegidos, se obtiene una superficie de Boy "derecha" o "izquierda" (definiciones completamente arbitrarias). El plano proyectivo se inmersa en el espacio mediante dos representaciones "antiautomorfas" especulares. Vemos, pues, también que se puede pasar de una superficie de Boy derecha a una superficie de Boy izquierda a través de un modelo "central" que es la superficie romana de Steiner.
Sería sin duda agradable que estos dibujos se publicaran en revistas como Pour la Science o La Recherche. Pero desde hace veinte años me está "prohibida" la publicación en estas revistas debido a desviacionismo ufológico. Gracias, señores Hervé This y Philippe Boulanger. He perdido la cuenta de los artículos de este tipo que he propuesto a estas revistas y que me han sido amablemente rechazados. Al final uno se acostumbra a su estatus de excomulgado.
A título anecdótico, existe un "Premio d'Alembert" destinado a recompensar a los autores de libros de divulgación matemática. La historia me la contó un miembro de la comisión encargada de decidir a quién se le otorgaría el premio (hay, por cierto, cuestiones de dinero detrás). Diálogo:
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En fin, ¿por qué no damos el premio a Petit? Ha escrito obras notables como el "Géométricon", el "Trou Noir" y el "Topologicon".
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Sí, pero no solo eso.
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¿A qué se refiere?
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También escribió el "Mur du Silence".
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Ah, bueno, entonces...
Efectivamente, el "Mur du Silence", publicado en 1983, es un álbum dedicado a la MHD. Y, como todos sabemos, esta ciencia corrosiva tiene como virtud, o defecto,
el de permitir que los objetos voladores se muevan a velocidades supersónicas sin hacer "Bang".
« Cachez cette science, que je ne saurais voir »
Tengo en mis cajas una versión magnífica del "giro del cubo", que no es la versión poliédrica de la variante de Morin. Todo de mi cosecha. Un día de estos...
22 de octubre de 2003
: No se trabaja demasiado en estas páginas, si me fío del contador. El lunes 13 de octubre de 2003 di una conferencia en el CMI (Centro de Matemáticas e Informática de Château-Gombert-Marsella) invitado por Trotman. En aquella ocasión pude sacar una colección de unos treinta modelos de cartón, de los que podréis disfrutar pronto, ya que fueron fotografiados por Christophe Tardy.
Cuando se da una conferencia, se crea cierta atmósfera. En la foto de abajo, aquí hay un geómetra que expresa su perplejidad.
En el fondo, una parte de los modelos expuestos con la ayuda de mi colaborador de larga data, Boris Kolev, miembro también del departamento, geómetra él también. En cierto momento planteé la pregunta:
- ¿Cuántos de vosotros ya han visto una superficie romana de Steiner? Levantad la mano.
Nadie la había visto nunca. Me pareció, pues, útil presentar este objeto, con un programa de realidad virtual, en el portátil que llevaba conmigo, programa realizado con la ayuda de Christophe Tardy, ingeniero, y de Frédéric Descamp, del Instituto Laue Langevin de Grenoble (ILL). Claramente, esta presentación desconcierta al público, poco acostumbrado a ver superficies matemáticas hacer giros a placer.
Dos tablas de cartón, visibles en primer plano, permitieron presentar toda la sucesión de modelos en su orden lógico. Los modelos en verde y amarillo ilustran, en forma poliédrica, la herramienta esencial de creación y descomposición de una pareja de puntos cónicos. El objeto blanco más alejado es una versión poliédrica de la superficie Cross Cap, que se transforma primero en versión poliédrica de la superficie romana de Steiner, y luego, a un metro de distancia, a elección, en superficie de Boy "derecha" o "izquierda".
La análisis de los modelos hace surgir varias observaciones en el público. Un geómetra pregunta:
- Si es cierto que, siguiendo los modelos en este orden, se puede pasar de la superficie Cross Cap a la de Boy, parece que, siguiendo el procedimiento contrario, se podría transformar una superficie de Boy en una Cross Cap.
Respondo afirmativamente. Animado, mi interlocutor añade:
- Entonces, si al llegar al estado de superficie romana de Steiner nos detenemos, debería ser posible volver a una superficie de Boy, pero reflejada respecto a la inicial.
Acuerdo por segunda vez. Pero, desafortunadamente, nadie se ofrecerá a aclarar este extraño mundo en el que se permite que las inmersiones de superficies cerradas tengan puntos cónicos, creados o disueltos por pares, cuyo conjunto constituye una especie de extensión del mundo de las inmersiones. El término "summersione" me parece conveniente. Si un lector es capaz de aclarar algo, será bienvenido.
Curvatura concentrada en un punto cónico.
La calcularemos sumando los ángulos en el vértice y comparando esta suma con el resultado obtenido en el caso del plano euclídeo: 2π.
En la esquina superior izquierda podéis ver una de las muchas representaciones poliédricas posibles de un punto cónico. Al "desarmar" la superficie se llega a una suma de ángulos que supera el valor 2π en 2α. Se deduce que la curvatura angular concentrada alrededor de este punto C es -2α. Si el ángulo α es igual a π/2, entonces la curvatura negativa vale -π (figura en la esquina inferior izquierda). De hecho, la curvatura de un punto cónico puede asumir infinitos valores. En la esquina inferior derecha enfatizamos la suma angular y la curvatura se vuelve entonces < -π (hemos aumentado la curvatura negativa).
Operando de forma inversa, podemos llegar a una situación bastante sorprendente: podemos hacer que la curvatura (angular) concentrada en C sea... nula:
Partimos ahora de una representación poliédrica de la superficie Cross Cap que incluye dos puntos cónicos, cada uno con curvatura igual a -π:
En esta figura hay ocho "posicones" correspondientes de valor +π/2. Añadimos cuatro "posicones" más de curvatura +π/4 y cuatro "negacones" de curvatura -π/4.
Más los dos puntos cónicos de curvatura -π.
Total: 2π.
Dividiendo el valor de esta "curvatura total" por 2π, recuperamos el valor de la característica de Euler-Poincaré de cualquier representación del plano proyectivo (o de la superficie de Boy).
En el transcurso de la conferencia mencioné el arte...