Italiano
: Andrea Sambusetti, universidad de Roma
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para que aparezca el dibujo del modelo a escala 1:1, para imprimir y recortar.
Haciendo copias de cuatro ejemplares en cartulina Bristol de dos colores
diferentes, podrán construir ustedes mismos el modelo,
siguiendo las indicaciones para montarlo
A
ciertamente han visto un objeto extraño girar sin cesar
en la parte izquierda de la página de inicio de este sitio. ¿De qué se trata?
U
no día, cuando encuentre el tiempo, instalaré
en este sitio una descripción del volteo de la esfera, tal como
lo había ilustrado en el número de Pour la Science de enero de 1979, es decir...
¡hace 22 años! Todo esto requerirá muchos detalles y una introducción.
¿Qué significa "voltear una esfera"? Una esfera no tiene el mismo
significado para el hombre común y para el matemático-geómetra. Para el hombre común,
no es otra cosa que el conjunto de los puntos del espacio situados a una distancia
R de un punto O fijado. Un geómetra seguirá llamando "esfera",
en cambio, incluso a un objeto que corresponde a una "esfera deformada",
como una patata por ejemplo. Para comprender mejor estos conceptos,
consíganse el CD de Lanturlu que contiene el cómic "Topologicon".
Pero el matemático va aún más lejos. Una superficie se llama
"regular" cuando en cada uno de sus puntos se puede definir
un plano tangente. Esto ya permite pensar en una infinidad
de deformaciones regulares posibles de la esfera, en las infinitas formas
de una patata, variando además de manera arbitraria el área de dicha superficie.
Dicho esto, en nuestro universo físico, una persona que intente voltear
la esfera (es decir, llevar su superficie interna hacia afuera) se encontrará
frente a la imposibilidad de lograr que su superficie se atraviese a sí misma.
Cuando se asume esta hipótesis, es decir, se prohíbe que la superficie
se atraviese a sí misma o incluso que solo se "toque", el matemático habla
de "embebido" de la esfera S2. Pero un matemático siempre se permite todo. Una
esfera es, para él, un objeto "virtual" y no material, en el que el atravesamiento
de una hoja se considera posible. La sucesión de dibujos que aparecen a continuación
muestra una esfera que se atraviesa a sí misma. Una representación
de este tipo, que admita es decir, autointersecciones, se llama
una "inmersión".
U
na inmersión posee por tanto un conjunto de autointersección
(aquí se trata de una simple curva circular). El plano tangente, sin embargo,
debe variar de manera continua. Dicho esto, al observar el dibujo
de arriba, se ve claramente que la operación lleva una parte de la superficie interna
(representada en verde) hacia afuera. Para completar el volteo, sería
necesario aplanar este tipo de intestino ecuatorial. Aquí parece haber un problema:
este aplanamiento destruiría la continuidad del plano tangente,
y esta transformación contendría por tanto un paso que no es una inmersión.
U
no día, un matemático americano, Stephen Smale, demostró
que "la esfera S2 posee una sola clase de inmersión". Esta frase
misteriosa tenía como consecuencia que se podría pasar,
mediante una transformación que contenga solo verdaderas inmersiones, de la esfera "estándar"
a su representación "antípoda", es decir, en la que cada punto
se intercambia con su antípoda: en otras palabras... una esfera volteada.
Raoul Bott era el jefe de Smale. Tanto la demostración formal de este hecho
parecía correcta, como nadie parecía capaz de realizar físicamente
esta operación de volteo. Bott seguía preguntando a Smale "me muestre
cómo piensa proceder"; a lo que Smale, notoriamente sin pelos en la lengua,
respondía "no tengo la más mínima idea". Smale recibió posteriormente la medalla Field,
el equivalente del Nobel para las matemáticas. Por cierto, se preguntarán
por qué no existe el premio Nobel para las matemáticas. La respuesta es sencilla:
su esposa se escapó con un matemático.
L
as cosas siguieron así durante bastante tiempo,
hasta que un matemático americano llamado Anthony Phillips publicó
en 1967, en Scientific American, una primera versión de este volteo,
extremadamente complicada. La segunda fue inventada a principios de los años setenta
por el matemático francés (invidente) Bernard Morin. Fui yo el primero en dibujar
la secuencia de transformaciones, que será objeto, como les anuncié,
de un próximo artículo en este sitio, además bastante abundante. De todos modos, todo
esto nos lleva a una consideración. Las superficies pueden ser representadas
en forma poliédrica. Un cubo o un tetraedro pueden ser considerados como representaciones
poliédricas de la esfera, en el sentido de que estos objetos tienen
la misma topología. En este punto, consulten mi Topologicon. Además
se comprende que, si es posible voltear la esfera, también será
posible voltear un cubo. La transformación inventada por Bernard Morin (que
ilustré en el artículo de enero de 1979 en Pour la Science) pasa por un
modelo central. Existe una simetría en esta secuencia. Es la que
llamo "modelo central de 4 orejas". Estoy anticipando cosas. De todos modos,
como la esfera se presta a representaciones poliédricas, lo mismo
vale para los pasos siguientes de esta transformación. Lo que ven girar
en mi página de inicio es la versión poliédrica del modelo central
del volteo de la esfera, que inventé hace una década. El interés
de estos modelos poliédricos radica en que se pueden construir con superficies planas.
También se pueden construir con papel y tijeras. Miren el dibujo que sigue (agradezco entre paréntesis a mi amigo Christophe Tardy,
que ha producido los elementos de la medida adecuada).
Grande
E
s un plano de montaje del cual aquí tienen una vista
general. Pero para imprimirlo es preferible que pasen a la página de recorte.
Imprímanla. Luego, con este ejemplar impreso en la carta habitual
de su impresora, hagan cuatro copias idénticas, dos en cartulina Bristol verde,
y dos en amarillo. Serán capaces, mediante estos papeles para recortar,
de construir el modelo central del volteo del cubo.
S
obre los elementos para recortar hay pares de letras
: a, b, c, d, e, f, etc. Basta con doblar el papel llevando a
coincidir las mismas letras, y luego fijar las caras con cinta adhesiva transparente.
Los dibujos que siguen muestran la manera de montar uno de los cuatro
elementos. He aquí primero cómo se debe comenzar a doblar uno de los cuatro elementos:
E
stos son dos de los cuatro elementos, vistos desde ángulos diferentes.
S
e disponen luego de manera que se forme un objeto
con una simetría de orden cuatro, alternando elementos verdes y amarillos. Para verlo en 3D, echen un vistazo a la realización de Tardy, en la sección
"realidad virtual". El modelo central está montado y también
realizado en "vrml" en esta sección. Aquí lo tienen reproducido desde varios
puntos de vista:
N
o se puede decir que un punto de vista corresponda
al "arriba" y otro al "abajo", ya que estas denominaciones
son perfectamente arbitrarias. En la imagen de la izquierda, el punto
"central" corresponde al "punto doble" (donde dos hojas
se cruzan) del modelo central de Morin, mientras que el punto central de la imagen
de la derecha corresponde al "punto cuádruple" del mismo modelo (donde
cuatro hojas se cruzan). Tuve que orientar el objeto con mucha atención,
de modo que la imagen de la izquierda no evocara una esvástica. Aparte de eso,
desde el punto de vista arquitectónico, esta representación poliédrica del modelo
central...